Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59412 / 59099
↖ ↑ ↗
← S 80.840530°
E146.359863°		 ← 97.23 m → S 80.840530°
E146.365356°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
S 80.841404°
E146.359863°		 ← 97.22 m →
9 452 m²		 S 80.841404°
E146.365356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906562805175781 y=0.901786804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906562805175781 × 216)
    floor (0.906562805175781 × 65536)
    floor (59412.5)     		tx = 59412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901786804199219 × 216)
    floor (0.901786804199219 × 65536)
    floor (59099.5)     		ty = 59099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59412 / 59099 ti = "16/59412/59099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59412/59099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59412 ÷ 216
    59412 ÷ 65536     		x = 0.90655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59099 ÷ 216
    59099 ÷ 65536     		y = 0.901779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90655517578125 × 2 - 1) × π
    0.8131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55446151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.803558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5244530077914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55446151} λ = 2.55446151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5244530077914))-π/2
    2×atan(0.0801021160389754)-π/2
    2×0.0799314515406574-π/2
    0.159862903081315-1.57079632675     		φ = -1.41093342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55446151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41093342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.840530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59412 KachelY 59099 2.55446151 -1.41093342 146.359863 -80.840530
    Oben rechts KachelX + 1 59413 KachelY 59099 2.55455738 -1.41093342 146.365356 -80.840530
    Unten links KachelX 59412 KachelY + 1 59100 2.55446151 -1.41094868 146.359863 -80.841404
    Unten rechts KachelX + 1 59413 KachelY + 1 59100 2.55455738 -1.41094868 146.365356 -80.841404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41093342--1.41094868) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dl = 97.2214599990469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41093342--1.41094868) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dr = 97.2214599990469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55446151-2.55455738) × cos(-1.41093342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15918286296507 × 6371000     		do = 97.2269458926483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55446151-2.55455738) × cos(-1.41094868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159167797525033 × 6371000     		du = 97.2177441061242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41093342)-sin(-1.41094868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15918286296507-0.159167797525033)×R²
    abs(2.55455738-2.55446151)×1.50654400367101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50654400367101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50654400367101e-05×40589641000000     		ar = 9452.0983256825m²