Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59412 / 45593
↖ ↑ ↗
← N 47.943947°
W 16.820068°		 ← 204.55 m → N 47.943947°
W 16.817322°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
N 47.942107°
W 16.820068°		 ← 204.56 m →
41 859 m²		 N 47.942107°
W 16.817322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453281402587891 y=0.347850799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453281402587891 × 217)
    floor (0.453281402587891 × 131072)
    floor (59412.5)     		tx = 59412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347850799560547 × 217)
    floor (0.347850799560547 × 131072)
    floor (45593.5)     		ty = 45593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59412 / 45593 ti = "17/59412/45593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59412/45593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59412 ÷ 217
    59412 ÷ 131072     		x = 0.453277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45593 ÷ 217
    45593 ÷ 131072     		y = 0.347846984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.09344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29356557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347846984863281 × 2 - 1) × π
    0.304306030273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.95600558912278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29356557} λ = -0.29356557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95600558912278))-π/2
    2×atan(2.60128509213209)-π/2
    2×1.20378802635731-π/2
    2.40757605271461-1.57079632675     		φ = 0.83677973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29356557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.820068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83677973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.943947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59412 KachelY 45593 -0.29356557 0.83677973 -16.820068 47.943947
    Oben rechts KachelX + 1 59413 KachelY 45593 -0.29351764 0.83677973 -16.817322 47.943947
    Unten links KachelX 59412 KachelY + 1 45594 -0.29356557 0.83674761 -16.820068 47.942107
    Unten rechts KachelX + 1 59413 KachelY + 1 45594 -0.29351764 0.83674761 -16.817322 47.942107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83677973-0.83674761) × R
    3.21200000000799e-05 × 6371000     		dl = 204.636520000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83677973-0.83674761) × R
    3.21200000000799e-05 × 6371000     		dr = 204.636520000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29356557--0.29351764) × cos(0.83677973) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.669857312758636 × 6371000     		do = 204.54898883421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29356557--0.29351764) × cos(0.83674761) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.669881161187139 × 6371000     		du = 204.55627123875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83677973)-sin(0.83674761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669857312758636-0.669881161187139)×R²
    abs(-0.29351764--0.29356557)×2.38484285030038e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38484285030038e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38484285030038e-05×40589641000000     		ar = 41858.9383711415m²