Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59409 / 82527
↖ ↑ ↗
← S 42.226484°
W 16.828308°		 ← 226.12 m → S 42.226484°
W 16.825562°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 42.228518°
W 16.828308°		 ← 226.11 m →
51 141 m²		 S 42.228518°
W 16.825562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453258514404297 y=0.629634857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453258514404297 × 217)
    floor (0.453258514404297 × 131072)
    floor (59409.5)     		tx = 59409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629634857177734 × 217)
    floor (0.629634857177734 × 131072)
    floor (82527.5)     		ty = 82527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59409 / 82527 ti = "17/59409/82527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59409/82527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59409 ÷ 217
    59409 ÷ 131072     		x = 0.453254699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82527 ÷ 217
    82527 ÷ 131072     		y = 0.629631042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453254699707031 × 2 - 1) × π
    -0.0934906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29370938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629631042480469 × 2 - 1) × π
    -0.259262084960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.814495861444374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29370938} λ = -0.29370938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814495861444374))-π/2
    2×atan(0.442862535171614)-π/2
    2×0.416902578563478-π/2
    0.833805157126957-1.57079632675     		φ = -0.73699117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29370938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.828308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73699117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.226484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59409 KachelY 82527 -0.29370938 -0.73699117 -16.828308 -42.226484
    Oben rechts KachelX + 1 59410 KachelY 82527 -0.29366145 -0.73699117 -16.825562 -42.226484
    Unten links KachelX 59409 KachelY + 1 82528 -0.29370938 -0.73702667 -16.828308 -42.228518
    Unten rechts KachelX + 1 59410 KachelY + 1 82528 -0.29366145 -0.73702667 -16.825562 -42.228518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73699117--0.73702667) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dl = 226.170499999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73699117--0.73702667) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dr = 226.170499999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29370938--0.29366145) × cos(-0.73699117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.740494030668753 × 6371000     		do = 226.118760408031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29370938--0.29366145) × cos(-0.73702667) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74047017196791 × 6371000     		du = 226.111474866708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73699117)-sin(-0.73702667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740494030668753-0.74047017196791)×R²
    abs(-0.29366145--0.29370938)×2.38587008426494e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38587008426494e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38587008426494e-05×40589641000000     		ar = 51140.569218874m²