Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59408 / 82526
↖ ↑ ↗
← S 42.224450°
W 16.831055°		 ← 226.17 m → S 42.224450°
W 16.828308°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 42.226484°
W 16.831055°		 ← 226.17 m →
51 153 m²		 S 42.226484°
W 16.828308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453250885009766 y=0.629627227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453250885009766 × 217)
    floor (0.453250885009766 × 131072)
    floor (59408.5)     		tx = 59408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629627227783203 × 217)
    floor (0.629627227783203 × 131072)
    floor (82526.5)     		ty = 82526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59408 / 82526 ti = "17/59408/82526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59408/82526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59408 ÷ 217
    59408 ÷ 131072     		x = 0.4532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82526 ÷ 217
    82526 ÷ 131072     		y = 0.629623413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4532470703125 × 2 - 1) × π
    -0.093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29375732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629623413085938 × 2 - 1) × π
    -0.259246826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.814447924544754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29375732} λ = -0.29375732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814447924544754))-π/2
    2×atan(0.442883765137354)-π/2
    2×0.41692032734339-π/2
    0.83384065468678-1.57079632675     		φ = -0.73695567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29375732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.831055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73695567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.224450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59408 KachelY 82526 -0.29375732 -0.73695567 -16.831055 -42.224450
    Oben rechts KachelX + 1 59409 KachelY 82526 -0.29370938 -0.73695567 -16.828308 -42.224450
    Unten links KachelX 59408 KachelY + 1 82527 -0.29375732 -0.73699117 -16.831055 -42.226484
    Unten rechts KachelX + 1 59409 KachelY + 1 82527 -0.29370938 -0.73699117 -16.828308 -42.226484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73695567--0.73699117) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dl = 226.170500000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73695567--0.73699117) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dr = 226.170500000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29375732--0.29370938) × cos(-0.73695567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740517888436388 × 6371000     		do = 226.173224058773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29375732--0.29370938) × cos(-0.73699117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740494030668753 × 6371000     		du = 226.165937282438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73695567)-sin(-0.73699117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740517888436388-0.740494030668753)×R²
    abs(-0.29370938--0.29375732)×2.38577676350271e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38577676350271e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38577676350271e-05×40589641000000     		ar = 51152.8871506851m²