Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59408 / 58448
↖ ↑ ↗
← S 80.253391°
E146.337891°		 ← 103.41 m → S 80.253391°
E146.343384°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
S 80.254321°
E146.337891°		 ← 103.40 m →
10 692 m²		 S 80.254321°
E146.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906501770019531 y=0.891853332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906501770019531 × 216)
    floor (0.906501770019531 × 65536)
    floor (59408.5)     		tx = 59408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891853332519531 × 216)
    floor (0.891853332519531 × 65536)
    floor (58448.5)     		ty = 58448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59408 / 58448 ti = "16/59408/58448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59408/58448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59408 ÷ 216
    59408 ÷ 65536     		x = 0.906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58448 ÷ 216
    58448 ÷ 65536     		y = 0.891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906494140625 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55407801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891845703125 × 2 - 1) × π
    -0.78369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.46203916448608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55407801} λ = 2.55407801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46203916448608))-π/2
    2×atan(0.085260912556219)-π/2
    2×0.0850552097989468-π/2
    0.170110419597894-1.57079632675     		φ = -1.40068591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55407801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40068591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.253391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59408 KachelY 58448 2.55407801 -1.40068591 146.337891 -80.253391
    Oben rechts KachelX + 1 59409 KachelY 58448 2.55417389 -1.40068591 146.343384 -80.253391
    Unten links KachelX 59408 KachelY + 1 58449 2.55407801 -1.40070214 146.337891 -80.254321
    Unten rechts KachelX + 1 59409 KachelY + 1 58449 2.55417389 -1.40070214 146.343384 -80.254321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40068591--1.40070214) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40068591--1.40070214) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55407801-2.55417389) × cos(-1.40068591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169291173146512 × 6371000     		do = 103.411763667415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55407801-2.55417389) × cos(-1.40070214) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169275177386732 × 6371000     		du = 103.40199263388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40068591)-sin(-1.40070214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169291173146512-0.169275177386732)×R²
    abs(2.55417389-2.55407801)×1.599575977973e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.599575977973e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.599575977973e-05×40589641000000     		ar = 10692.4087317734m²