Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59407 / 86077
↖ ↑ ↗
← S 49.032466°
W 16.833801°		 ← 200.25 m → S 49.032466°
W 16.831055°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
S 49.034267°
W 16.833801°		 ← 200.24 m →
40 097 m²		 S 49.034267°
W 16.831055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453243255615234 y=0.656719207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453243255615234 × 217)
    floor (0.453243255615234 × 131072)
    floor (59407.5)     		tx = 59407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656719207763672 × 217)
    floor (0.656719207763672 × 131072)
    floor (86077.5)     		ty = 86077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59407 / 86077 ti = "17/59407/86077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59407/86077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59407 ÷ 217
    59407 ÷ 131072     		x = 0.453239440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86077 ÷ 217
    86077 ÷ 131072     		y = 0.656715393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453239440917969 × 2 - 1) × π
    -0.0935211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29380526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656715393066406 × 2 - 1) × π
    -0.313430786132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.984671855095573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29380526} λ = -0.29380526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984671855095573))-π/2
    2×atan(0.373561789224088)-π/2
    2×0.357509177341014-π/2
    0.715018354682028-1.57079632675     		φ = -0.85577797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29380526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.833801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85577797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.032466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59407 KachelY 86077 -0.29380526 -0.85577797 -16.833801 -49.032466
    Oben rechts KachelX + 1 59408 KachelY 86077 -0.29375732 -0.85577797 -16.831055 -49.032466
    Unten links KachelX 59407 KachelY + 1 86078 -0.29380526 -0.85580940 -16.833801 -49.034267
    Unten rechts KachelX + 1 59408 KachelY + 1 86078 -0.29375732 -0.85580940 -16.831055 -49.034267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85577797--0.85580940) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dl = 200.240530000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85577797--0.85580940) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dr = 200.240530000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29380526--0.29375732) × cos(-0.85577797) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655631277678434 × 6371000     		do = 200.246668152182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29380526--0.29375732) × cos(-0.85580940) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655607545152301 × 6371000     		du = 200.239419627825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85577797)-sin(-0.85580940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655631277678434-0.655607545152301)×R²
    abs(-0.29375732--0.29380526)×2.37325261333021e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37325261333021e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37325261333021e-05×40589641000000     		ar = 40096.7732406971m²