Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59404 / 33516
↖ ↑ ↗
← N 65.680906°
W 16.842041°		 ← 125.78 m → N 65.680906°
W 16.839294°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 65.679775°
W 16.842041°		 ← 125.79 m →
15 819 m²		 N 65.679775°
W 16.839294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453220367431641 y=0.255710601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453220367431641 × 217)
    floor (0.453220367431641 × 131072)
    floor (59404.5)     		tx = 59404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255710601806641 × 217)
    floor (0.255710601806641 × 131072)
    floor (33516.5)     		ty = 33516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59404 / 33516 ti = "17/59404/33516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59404/33516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59404 ÷ 217
    59404 ÷ 131072     		x = 0.453216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33516 ÷ 217
    33516 ÷ 131072     		y = 0.255706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453216552734375 × 2 - 1) × π
    -0.09356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29394907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255706787109375 × 2 - 1) × π
    0.48858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5349395258342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29394907} λ = -0.29394907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5349395258342))-π/2
    2×atan(4.6410448581511)-π/2
    2×1.35857219822939-π/2
    2.71714439645878-1.57079632675     		φ = 1.14634807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29394907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.842041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14634807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.680906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59404 KachelY 33516 -0.29394907 1.14634807 -16.842041 65.680906
    Oben rechts KachelX + 1 59405 KachelY 33516 -0.29390113 1.14634807 -16.839294 65.680906
    Unten links KachelX 59404 KachelY + 1 33517 -0.29394907 1.14632833 -16.842041 65.679775
    Unten rechts KachelX + 1 59405 KachelY + 1 33517 -0.29390113 1.14632833 -16.839294 65.679775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14634807-1.14632833) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14634807-1.14632833) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29394907--0.29390113) × cos(1.14634807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411818059578974 × 6371000     		do = 125.77983559219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29394907--0.29390113) × cos(1.14632833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411836047891342 × 6371000     		du = 125.785329685806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14634807)-sin(1.14632833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411818059578974-0.411836047891342)×R²
    abs(-0.29390113--0.29394907)×1.79883123687108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79883123687108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79883123687108e-05×40589641000000     		ar = 15818.8628635579m²