Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59403 / 86070
↖ ↑ ↗
← S 49.019859°
W 16.844788°		 ← 200.30 m → S 49.019859°
W 16.842041°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
S 49.021660°
W 16.844788°		 ← 200.29 m →
40 120 m²		 S 49.021660°
W 16.842041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453212738037109 y=0.656665802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453212738037109 × 217)
    floor (0.453212738037109 × 131072)
    floor (59403.5)     		tx = 59403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656665802001953 × 217)
    floor (0.656665802001953 × 131072)
    floor (86070.5)     		ty = 86070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59403 / 86070 ti = "17/59403/86070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59403/86070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59403 ÷ 217
    59403 ÷ 131072     		x = 0.453208923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86070 ÷ 217
    86070 ÷ 131072     		y = 0.656661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453208923339844 × 2 - 1) × π
    -0.0935821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29399701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656661987304688 × 2 - 1) × π
    -0.313323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.984336296798233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29399701} λ = -0.29399701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984336296798233))-π/2
    2×atan(0.373687162015796)-π/2
    2×0.357619192534362-π/2
    0.715238385068725-1.57079632675     		φ = -0.85555794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29399701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.844788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85555794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.019859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59403 KachelY 86070 -0.29399701 -0.85555794 -16.844788 -49.019859
    Oben rechts KachelX + 1 59404 KachelY 86070 -0.29394907 -0.85555794 -16.842041 -49.019859
    Unten links KachelX 59403 KachelY + 1 86071 -0.29399701 -0.85558938 -16.844788 -49.021660
    Unten rechts KachelX + 1 59404 KachelY + 1 86071 -0.29394907 -0.85558938 -16.842041 -49.021660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85555794--0.85558938) × R
    3.14399999999937e-05 × 6371000     		dl = 200.30423999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85555794--0.85558938) × R
    3.14399999999937e-05 × 6371000     		dr = 200.30423999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29399701--0.29394907) × cos(-0.85555794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655797402324256 × 6371000     		do = 200.297406895064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29399701--0.29394907) × cos(-0.85558938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655773666783086 × 6371000     		du = 200.290157449838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85555794)-sin(-0.85558938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655797402324256-0.655773666783086)×R²
    abs(-0.29394907--0.29399701)×2.37355411700779e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37355411700779e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37355411700779e-05×40589641000000     		ar = 40119.6938181228m²