Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59403 / 82766
↖ ↑ ↗
← S 42.710696°
W 16.844788°		 ← 224.42 m → S 42.710696°
W 16.842041°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.712714°
W 16.844788°		 ← 224.42 m →
50 357 m²		 S 42.712714°
W 16.842041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453212738037109 y=0.631458282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453212738037109 × 217)
    floor (0.453212738037109 × 131072)
    floor (59403.5)     		tx = 59403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631458282470703 × 217)
    floor (0.631458282470703 × 131072)
    floor (82766.5)     		ty = 82766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59403 / 82766 ti = "17/59403/82766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59403/82766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59403 ÷ 217
    59403 ÷ 131072     		x = 0.453208923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82766 ÷ 217
    82766 ÷ 131072     		y = 0.631454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453208923339844 × 2 - 1) × π
    -0.0935821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29399701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631454467773438 × 2 - 1) × π
    -0.262908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.825952780453568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29399701} λ = -0.29399701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825952780453568))-π/2
    2×atan(0.437817649579703)-π/2
    2×0.412677027847238-π/2
    0.825354055694475-1.57079632675     		φ = -0.74544227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29399701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.844788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74544227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.710696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59403 KachelY 82766 -0.29399701 -0.74544227 -16.844788 -42.710696
    Oben rechts KachelX + 1 59404 KachelY 82766 -0.29394907 -0.74544227 -16.842041 -42.710696
    Unten links KachelX 59403 KachelY + 1 82767 -0.29399701 -0.74547749 -16.844788 -42.712714
    Unten rechts KachelX + 1 59404 KachelY + 1 82767 -0.29394907 -0.74547749 -16.842041 -42.712714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74544227--0.74547749) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74544227--0.74547749) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29399701--0.29394907) × cos(-0.74544227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734787983905899 × 6371000     		do = 224.42316372768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29399701--0.29394907) × cos(-0.74547749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734764093835062 × 6371000     		du = 224.415867085116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74544227)-sin(-0.74547749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734787983905899-0.734764093835062)×R²
    abs(-0.29394907--0.29399701)×2.38900708370293e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38900708370293e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38900708370293e-05×40589641000000     		ar = 50356.7365293102m²