Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59402 / 45641
↖ ↑ ↗
← N 47.855560°
W 16.847534°		 ← 204.90 m → N 47.855560°
W 16.844788°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
N 47.853717°
W 16.847534°		 ← 204.91 m →
41 996 m²		 N 47.853717°
W 16.844788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453205108642578 y=0.348217010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453205108642578 × 217)
    floor (0.453205108642578 × 131072)
    floor (59402.5)     		tx = 59402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348217010498047 × 217)
    floor (0.348217010498047 × 131072)
    floor (45641.5)     		ty = 45641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59402 / 45641 ti = "17/59402/45641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59402/45641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59402 ÷ 217
    59402 ÷ 131072     		x = 0.453201293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45641 ÷ 217
    45641 ÷ 131072     		y = 0.348213195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453201293945312 × 2 - 1) × π
    -0.093597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29404494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348213195800781 × 2 - 1) × π
    0.303573608398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.953704617941017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29404494} λ = -0.29404494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953704617941017))-π/2
    2×atan(2.59530649103176)-π/2
    2×1.20301670678109-π/2
    2.40603341356218-1.57079632675     		φ = 0.83523709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29404494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.847534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83523709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.855560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59402 KachelY 45641 -0.29404494 0.83523709 -16.847534 47.855560
    Oben rechts KachelX + 1 59403 KachelY 45641 -0.29399701 0.83523709 -16.844788 47.855560
    Unten links KachelX 59402 KachelY + 1 45642 -0.29404494 0.83520492 -16.847534 47.853717
    Unten rechts KachelX + 1 59403 KachelY + 1 45642 -0.29399701 0.83520492 -16.844788 47.853717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83523709-0.83520492) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83523709-0.83520492) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29404494--0.29399701) × cos(0.83523709) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671001909807515 × 6371000     		do = 204.898505312588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29404494--0.29399701) × cos(0.83520492) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671025762087606 × 6371000     		du = 204.905788893257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83523709)-sin(0.83520492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671001909807515-0.671025762087606)×R²
    abs(-0.29399701--0.29404494)×2.38522800914964e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38522800914964e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38522800914964e-05×40589641000000     		ar = 41995.7339062821m²