Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59401 / 60197
↖ ↑ ↗
← S 81.752395°
E146.299439°		 ← 87.62 m → S 81.752395°
E146.304932°		 →
↑
87.60 m
↓
↑
87.60 m
↓
S 81.753183°
E146.299439°		 ← 87.61 m →
7 675 m²		 S 81.753183°
E146.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906394958496094 y=0.918540954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906394958496094 × 216)
    floor (0.906394958496094 × 65536)
    floor (59401.5)     		tx = 59401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918540954589844 × 216)
    floor (0.918540954589844 × 65536)
    floor (60197.5)     		ty = 60197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59401 / 60197 ti = "16/59401/60197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59401/60197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59401 ÷ 216
    59401 ÷ 65536     		x = 0.906387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60197 ÷ 216
    60197 ÷ 65536     		y = 0.918533325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906387329101562 × 2 - 1) × π
    0.812774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55340690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918533325195312 × 2 - 1) × π
    -0.837066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62972243935704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55340690} λ = 2.55340690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62972243935704))-π/2
    2×atan(0.0720984711598047)-π/2
    2×0.0719739321830203-π/2
    0.143947864366041-1.57079632675     		φ = -1.42684846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55340690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42684846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.752395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59401 KachelY 60197 2.55340690 -1.42684846 146.299439 -81.752395
    Oben rechts KachelX + 1 59402 KachelY 60197 2.55350277 -1.42684846 146.304932 -81.752395
    Unten links KachelX 59401 KachelY + 1 60198 2.55340690 -1.42686221 146.299439 -81.753183
    Unten rechts KachelX + 1 59402 KachelY + 1 60198 2.55350277 -1.42686221 146.304932 -81.753183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42684846--1.42686221) × R
    1.37499999999235e-05 × 6371000     		dl = 87.6012499995129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42684846--1.42686221) × R
    1.37499999999235e-05 × 6371000     		dr = 87.6012499995129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55340690-2.55350277) × cos(-1.42684846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143451257906974 × 6371000     		do = 87.6182739206937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55340690-2.55350277) × cos(-1.42686221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143437650104392 × 6371000     		du = 87.6099624412997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42684846)-sin(-1.42686221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143451257906974-0.143437650104392)×R²
    abs(2.55350277-2.55340690)×1.36078025824715e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36078025824715e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36078025824715e-05×40589641000000     		ar = 7675.10627063577m²