Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59400 / 60196
↖ ↑ ↗
← S 81.751607°
E146.293945°		 ← 87.64 m → S 81.751607°
E146.299439°		 →
↑
87.60 m
↓
↑
87.60 m
↓
S 81.752395°
E146.293945°		 ← 87.63 m →
7 677 m²		 S 81.752395°
E146.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906379699707031 y=0.918525695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906379699707031 × 216)
    floor (0.906379699707031 × 65536)
    floor (59400.5)     		tx = 59400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918525695800781 × 216)
    floor (0.918525695800781 × 65536)
    floor (60196.5)     		ty = 60196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59400 / 60196 ti = "16/59400/60196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59400/60196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59400 ÷ 216
    59400 ÷ 65536     		x = 0.9063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60196 ÷ 216
    60196 ÷ 65536     		y = 0.91851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55331102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.8370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6296265655578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55331102} λ = 2.55331102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6296265655578))-π/2
    2×atan(0.0721053838455216)-π/2
    2×0.0719808091176998-π/2
    0.1439616182354-1.57079632675     		φ = -1.42683471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55331102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42683471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.751607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59400 KachelY 60196 2.55331102 -1.42683471 146.293945 -81.751607
    Oben rechts KachelX + 1 59401 KachelY 60196 2.55340690 -1.42683471 146.299439 -81.751607
    Unten links KachelX 59400 KachelY + 1 60197 2.55331102 -1.42684846 146.293945 -81.752395
    Unten rechts KachelX + 1 59401 KachelY + 1 60197 2.55340690 -1.42684846 146.299439 -81.752395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42683471--1.42684846) × R
    1.37499999999235e-05 × 6371000     		dl = 87.6012499995129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42683471--1.42684846) × R
    1.37499999999235e-05 × 6371000     		dr = 87.6012499995129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55331102-2.55340690) × cos(-1.42683471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143464865682435 × 6371000     		do = 87.6357255300593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55331102-2.55340690) × cos(-1.42684846) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143451257906974 × 6371000     		du = 87.6274132002794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42683471)-sin(-1.42684846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143464865682435-0.143451257906974)×R²
    abs(2.55340690-2.55331102)×1.36077754612218e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36077754612218e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36077754612218e-05×40589641000000     		ar = 7676.63501578445m²