Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59400 / 59929
↖ ↑ ↗
← S 81.538503°
E146.293945°		 ← 89.88 m → S 81.538503°
E146.299439°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 81.539311°
E146.293945°		 ← 89.88 m →
8 074 m²		 S 81.539311°
E146.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906379699707031 y=0.914451599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906379699707031 × 216)
    floor (0.906379699707031 × 65536)
    floor (59400.5)     		tx = 59400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914451599121094 × 216)
    floor (0.914451599121094 × 65536)
    floor (59929.5)     		ty = 59929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59400 / 59929 ti = "16/59400/59929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59400/59929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59400 ÷ 216
    59400 ÷ 65536     		x = 0.9063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59929 ÷ 216
    59929 ÷ 65536     		y = 0.914443969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55331102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914443969726562 × 2 - 1) × π
    -0.828887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60402826116069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55331102} λ = 2.55331102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60402826116069))-π/2
    2×atan(0.0739749866501156)-π/2
    2×0.0738404902375698-π/2
    0.14768098047514-1.57079632675     		φ = -1.42311535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55331102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42311535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.538503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59400 KachelY 59929 2.55331102 -1.42311535 146.293945 -81.538503
    Oben rechts KachelX + 1 59401 KachelY 59929 2.55340690 -1.42311535 146.299439 -81.538503
    Unten links KachelX 59400 KachelY + 1 59930 2.55331102 -1.42312945 146.293945 -81.539311
    Unten rechts KachelX + 1 59401 KachelY + 1 59930 2.55340690 -1.42312945 146.299439 -81.539311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42311535--1.42312945) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42311535--1.42312945) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55331102-2.55340690) × cos(-1.42311535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147144749625415 × 6371000     		do = 89.8835880828552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55331102-2.55340690) × cos(-1.42312945) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14713080308972 × 6371000     		du = 89.8750688208851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42311535)-sin(-1.42312945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147144749625415-0.14713080308972)×R²
    abs(2.55340690-2.55331102)×1.3946535694781e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.3946535694781e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.3946535694781e-05×40589641000000     		ar = 8073.95894222889m²