Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59400 / 45527
↖ ↑ ↗
← N 48.065232°
W 16.853028°		 ← 204.11 m → N 48.065232°
W 16.850281°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 48.063397°
W 16.853028°		 ← 204.12 m →
41 665 m²		 N 48.063397°
W 16.850281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453189849853516 y=0.347347259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453189849853516 × 217)
    floor (0.453189849853516 × 131072)
    floor (59400.5)     		tx = 59400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347347259521484 × 217)
    floor (0.347347259521484 × 131072)
    floor (45527.5)     		ty = 45527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59400 / 45527 ti = "17/59400/45527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59400/45527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59400 ÷ 217
    59400 ÷ 131072     		x = 0.45318603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45527 ÷ 217
    45527 ÷ 131072     		y = 0.347343444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45318603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0936279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29414082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347343444824219 × 2 - 1) × π
    0.305313110351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.959169424497704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29414082} λ = -0.29414082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959169424497704))-π/2
    2×atan(2.60952816291031)-π/2
    2×1.2048464410454-π/2
    2.4096928820908-1.57079632675     		φ = 0.83889656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29414082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.853028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83889656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.065232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59400 KachelY 45527 -0.29414082 0.83889656 -16.853028 48.065232
    Oben rechts KachelX + 1 59401 KachelY 45527 -0.29409288 0.83889656 -16.850281 48.065232
    Unten links KachelX 59400 KachelY + 1 45528 -0.29414082 0.83886452 -16.853028 48.063397
    Unten rechts KachelX + 1 59401 KachelY + 1 45528 -0.29409288 0.83886452 -16.850281 48.063397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83889656-0.83886452) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83889656-0.83886452) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29414082--0.29409288) × cos(0.83889656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668284088334271 × 6371000     		do = 204.111162209822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29414082--0.29409288) × cos(0.83886452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668307922744667 × 6371000     		du = 204.118441852255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83889656)-sin(0.83886452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668284088334271-0.668307922744667)×R²
    abs(-0.29409288--0.29414082)×2.38344103964394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38344103964394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38344103964394e-05×40589641000000     		ar = 41665.3095393539m²