Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59400 / 27353
↖ ↑ ↗
← N 71.779953°
W 16.853028°		 ← 95.50 m → N 71.779953°
W 16.850281°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
N 71.779094°
W 16.853028°		 ← 95.50 m →
9 120 m²		 N 71.779094°
W 16.850281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453189849853516 y=0.208690643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453189849853516 × 217)
    floor (0.453189849853516 × 131072)
    floor (59400.5)     		tx = 59400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208690643310547 × 217)
    floor (0.208690643310547 × 131072)
    floor (27353.5)     		ty = 27353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59400 / 27353 ti = "17/59400/27353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59400/27353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59400 ÷ 217
    59400 ÷ 131072     		x = 0.45318603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27353 ÷ 217
    27353 ÷ 131072     		y = 0.208686828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45318603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0936279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29414082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208686828613281 × 2 - 1) × π
    0.582626342773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.8303746381926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29414082} λ = -0.29414082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8303746381926))-π/2
    2×atan(6.23622254808477)-π/2
    2×1.41179642490864-π/2
    2.82359284981729-1.57079632675     		φ = 1.25279652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29414082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.853028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25279652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.779953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59400 KachelY 27353 -0.29414082 1.25279652 -16.853028 71.779953
    Oben rechts KachelX + 1 59401 KachelY 27353 -0.29409288 1.25279652 -16.850281 71.779953
    Unten links KachelX 59400 KachelY + 1 27354 -0.29414082 1.25278153 -16.853028 71.779094
    Unten rechts KachelX + 1 59401 KachelY + 1 27354 -0.29409288 1.25278153 -16.850281 71.779094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25279652-1.25278153) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25279652-1.25278153) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29414082--0.29409288) × cos(1.25279652) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312667278394371 × 6371000     		do = 95.4966348774346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29414082--0.29409288) × cos(1.25278153) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312681516801306 × 6371000     		du = 95.5009836534091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25279652)-sin(1.25278153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312667278394371-0.312681516801306)×R²
    abs(-0.29409288--0.29414082)×1.42384069349299e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42384069349299e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42384069349299e-05×40589641000000     		ar = 9120.2594784657m²