Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 594 / 457
↖ ↑ ↗
← N 18.979026°
E 28.828125°		 ← 36.967 km → N 18.979026°
E 29.179687°		 →
↑
37.004 km
↓
↑
37.004 km
↓
N 18.646245°
E 28.828125°		 ← 37.040 km →
1 369.26 km²		 N 18.646245°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58056640625 y=0.44677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58056640625 × 210)
    floor (0.58056640625 × 1024)
    floor (594.5)     		tx = 594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44677734375 × 210)
    floor (0.44677734375 × 1024)
    floor (457.5)     		ty = 457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 594 / 457 ti = "10/594/457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/594/457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 594 ÷ 210
    594 ÷ 1024     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 457 ÷ 210
    457 ÷ 1024     		y = 0.4462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337475773325195))-π/2
    2×atan(1.40140565658159)-π/2
    2×0.951021409245768-π/2
    1.90204281849154-1.57079632675     		φ = 0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 594 KachelY 457 0.50314570 0.33124649 28.828125 18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 595 KachelY 457 0.50928162 0.33124649 29.179687 18.979026
    Unten links KachelX 594 KachelY + 1 458 0.50314570 0.32543837 28.828125 18.646245
    Unten rechts KachelX + 1 595 KachelY + 1 458 0.50928162 0.32543837 29.179687 18.646245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33124649-0.32543837) × R
    0.00580812000000003 × 6371000     		dl = 37003.5325200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33124649-0.32543837) × R
    0.00580812000000003 × 6371000     		dr = 37003.5325200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.50928162) × cos(0.33124649) × R
    0.00613591999999996 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 36966.8179050897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.50928162) × cos(0.32543837) × R
    0.00613591999999996 × 0.94751065997265 × 6371000     		du = 37040.0358572784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33124649)-sin(0.32543837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.94751065997265)×R²
    abs(0.50928162-0.50314570)×0.00187296768468292×R²
    0.00613591999999996×0.00187296768468292×6371000²
    0.00613591999999996×0.00187296768468292×40589641000000     		ar = 1369261359.20283m²