Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59399 / 45529
↖ ↑ ↗
← N 48.061561°
W 16.855774°		 ← 204.08 m → N 48.061561°
W 16.853028°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 48.059725°
W 16.855774°		 ← 204.09 m →
41 660 m²		 N 48.059725°
W 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453182220458984 y=0.347362518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453182220458984 × 217)
    floor (0.453182220458984 × 131072)
    floor (59399.5)     		tx = 59399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347362518310547 × 217)
    floor (0.347362518310547 × 131072)
    floor (45529.5)     		ty = 45529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59399 / 45529 ti = "17/59399/45529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59399/45529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59399 ÷ 217
    59399 ÷ 131072     		x = 0.453178405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45529 ÷ 217
    45529 ÷ 131072     		y = 0.347358703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453178405761719 × 2 - 1) × π
    -0.0936431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29418875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347358703613281 × 2 - 1) × π
    0.305282592773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.959073550698463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29418875} λ = -0.29418875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959073550698463))-π/2
    2×atan(2.60927798952383)-π/2
    2×1.20481440443556-π/2
    2.40962880887113-1.57079632675     		φ = 0.83883248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29418875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.855774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83883248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.061561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59399 KachelY 45529 -0.29418875 0.83883248 -16.855774 48.061561
    Oben rechts KachelX + 1 59400 KachelY 45529 -0.29414082 0.83883248 -16.853028 48.061561
    Unten links KachelX 59399 KachelY + 1 45530 -0.29418875 0.83880044 -16.855774 48.059725
    Unten rechts KachelX + 1 59400 KachelY + 1 45530 -0.29414082 0.83880044 -16.853028 48.059725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83883248-0.83880044) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83883248-0.83880044) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29418875--0.29414082) × cos(0.83883248) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.668331756469004 × 6371000     		do = 204.083141868729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29418875--0.29414082) × cos(0.83880044) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.668355589507258 × 6371000     		du = 204.090419573671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83883248)-sin(0.83880044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668331756469004-0.668355589507258)×R²
    abs(-0.29414082--0.29418875)×2.38330382534846e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38330382534846e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38330382534846e-05×40589641000000     		ar = 41659.5896379952m²