Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59399 / 33519
↖ ↑ ↗
← N 65.677513°
W 16.855774°		 ← 125.77 m → N 65.677513°
W 16.853028°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 65.676382°
W 16.855774°		 ← 125.78 m →
15 818 m²		 N 65.676382°
W 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453182220458984 y=0.255733489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453182220458984 × 217)
    floor (0.453182220458984 × 131072)
    floor (59399.5)     		tx = 59399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255733489990234 × 217)
    floor (0.255733489990234 × 131072)
    floor (33519.5)     		ty = 33519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59399 / 33519 ti = "17/59399/33519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59399/33519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59399 ÷ 217
    59399 ÷ 131072     		x = 0.453178405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33519 ÷ 217
    33519 ÷ 131072     		y = 0.255729675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453178405761719 × 2 - 1) × π
    -0.0936431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29418875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255729675292969 × 2 - 1) × π
    0.488540649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.53479571513534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29418875} λ = -0.29418875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53479571513534))-π/2
    2×atan(4.64037747423624)-π/2
    2×1.35854258436751-π/2
    2.71708516873502-1.57079632675     		φ = 1.14628884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29418875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.855774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14628884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.677513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59399 KachelY 33519 -0.29418875 1.14628884 -16.855774 65.677513
    Oben rechts KachelX + 1 59400 KachelY 33519 -0.29414082 1.14628884 -16.853028 65.677513
    Unten links KachelX 59399 KachelY + 1 33520 -0.29418875 1.14626910 -16.855774 65.676382
    Unten rechts KachelX + 1 59400 KachelY + 1 33520 -0.29414082 1.14626910 -16.853028 65.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14628884-1.14626910) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14628884-1.14626910) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29418875--0.29414082) × cos(1.14628884) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.411872033147052 × 6371000     		do = 125.770080141943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29418875--0.29414082) × cos(1.14626910) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.411890020977881 × 6371000     		du = 125.77557294248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14628884)-sin(1.14626910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411872033147052-0.411890020977881)×R²
    abs(-0.29414082--0.29418875)×1.79878308289028e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79878308289028e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79878308289028e-05×40589641000000     		ar = 15817.6359021475m²