Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59398 / 45525
↖ ↑ ↗
← N 48.068903°
W 16.858521°		 ← 204.10 m → N 48.068903°
W 16.855774°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
N 48.067068°
W 16.858521°		 ← 204.10 m →
41 649 m²		 N 48.067068°
W 16.855774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453174591064453 y=0.347332000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453174591064453 × 217)
    floor (0.453174591064453 × 131072)
    floor (59398.5)     		tx = 59398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347332000732422 × 217)
    floor (0.347332000732422 × 131072)
    floor (45525.5)     		ty = 45525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59398 / 45525 ti = "17/59398/45525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59398/45525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59398 ÷ 217
    59398 ÷ 131072     		x = 0.453170776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45525 ÷ 217
    45525 ÷ 131072     		y = 0.347328186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453170776367188 × 2 - 1) × π
    -0.093658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29423669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347328186035156 × 2 - 1) × π
    0.305343627929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.959265298296944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29423669} λ = -0.29423669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959265298296944))-π/2
    2×atan(2.609778360283)-π/2
    2×1.20487847537043-π/2
    2.40975695074086-1.57079632675     		φ = 0.83896062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29423669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.858521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83896062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.068903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59398 KachelY 45525 -0.29423669 0.83896062 -16.858521 48.068903
    Oben rechts KachelX + 1 59399 KachelY 45525 -0.29418875 0.83896062 -16.855774 48.068903
    Unten links KachelX 59398 KachelY + 1 45526 -0.29423669 0.83892859 -16.858521 48.067068
    Unten rechts KachelX + 1 59399 KachelY + 1 45526 -0.29418875 0.83892859 -16.855774 48.067068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83896062-0.83892859) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dl = 204.063130000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83896062-0.83892859) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dr = 204.063130000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29423669--0.29418875) × cos(0.83896062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668236432334377 × 6371000     		do = 204.09660684079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29423669--0.29418875) × cos(0.83892859) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668260260677115 × 6371000     		du = 204.103884630003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83896062)-sin(0.83892859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668236432334377-0.668260260677115)×R²
    abs(-0.29418875--0.29423669)×2.38283427377306e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38283427377306e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38283427377306e-05×40589641000000     		ar = 41649.3349821269m²