Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59397 / 82734
↖ ↑ ↗
← S 42.646081°
W 16.861267°		 ← 224.66 m → S 42.646081°
W 16.858521°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.648101°
W 16.861267°		 ← 224.65 m →
50 466 m²		 S 42.648101°
W 16.858521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453166961669922 y=0.631214141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453166961669922 × 217)
    floor (0.453166961669922 × 131072)
    floor (59397.5)     		tx = 59397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631214141845703 × 217)
    floor (0.631214141845703 × 131072)
    floor (82734.5)     		ty = 82734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59397 / 82734 ti = "17/59397/82734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59397/82734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59397 ÷ 217
    59397 ÷ 131072     		x = 0.453163146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82734 ÷ 217
    82734 ÷ 131072     		y = 0.631210327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453163146972656 × 2 - 1) × π
    -0.0936737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29428463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631210327148438 × 2 - 1) × π
    -0.262420654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824418799665726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29428463} λ = -0.29428463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824418799665726))-π/2
    2×atan(0.43848976881994)-π/2
    2×0.413240896352585-π/2
    0.826481792705169-1.57079632675     		φ = -0.74431453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29428463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.861267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74431453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.646081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59397 KachelY 82734 -0.29428463 -0.74431453 -16.861267 -42.646081
    Oben rechts KachelX + 1 59398 KachelY 82734 -0.29423669 -0.74431453 -16.858521 -42.646081
    Unten links KachelX 59397 KachelY + 1 82735 -0.29428463 -0.74434979 -16.861267 -42.648101
    Unten rechts KachelX + 1 59398 KachelY + 1 82735 -0.29423669 -0.74434979 -16.858521 -42.648101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74431453--0.74434979) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74431453--0.74434979) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29428463--0.29423669) × cos(-0.74431453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735552458984314 × 6371000     		do = 224.656654093957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29428463--0.29423669) × cos(-0.74434979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735528571013487 × 6371000     		du = 224.649358092789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74431453)-sin(-0.74434979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735552458984314-0.735528571013487)×R²
    abs(-0.29423669--0.29428463)×2.38879708275297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38879708275297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38879708275297e-05×40589641000000     		ar = 50466.3792873967m²