Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59397 / 60201
↖ ↑ ↗
← S 81.755546°
E146.277466°		 ← 87.59 m → S 81.755546°
E146.282959°		 →
↑
87.60 m
↓
↑
87.60 m
↓
S 81.756334°
E146.277466°		 ← 87.58 m →
7 672 m²		 S 81.756334°
E146.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906333923339844 y=0.918601989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906333923339844 × 216)
    floor (0.906333923339844 × 65536)
    floor (59397.5)     		tx = 59397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918601989746094 × 216)
    floor (0.918601989746094 × 65536)
    floor (60201.5)     		ty = 60201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59397 / 60201 ti = "16/59397/60201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59397/60201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59397 ÷ 216
    59397 ÷ 65536     		x = 0.906326293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60201 ÷ 216
    60201 ÷ 65536     		y = 0.918594360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906326293945312 × 2 - 1) × π
    0.812652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55302340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918594360351562 × 2 - 1) × π
    -0.837188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.630105934554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55302340} λ = 2.55302340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.630105934554))-π/2
    2×atan(0.0720708270434384)-π/2
    2×0.0719464309683748-π/2
    0.14389286193675-1.57079632675     		φ = -1.42690346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55302340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.277466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42690346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.755546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59397 KachelY 60201 2.55302340 -1.42690346 146.277466 -81.755546
    Oben rechts KachelX + 1 59398 KachelY 60201 2.55311927 -1.42690346 146.282959 -81.755546
    Unten links KachelX 59397 KachelY + 1 60202 2.55302340 -1.42691721 146.277466 -81.756334
    Unten rechts KachelX + 1 59398 KachelY + 1 60202 2.55311927 -1.42691721 146.282959 -81.756334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42690346--1.42691721) × R
    1.37500000001456e-05 × 6371000     		dl = 87.6012500009275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42690346--1.42691721) × R
    1.37500000001456e-05 × 6371000     		dr = 87.6012500009275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55302340-2.55311927) × cos(-1.42690346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143396826533942 × 6371000     		do = 87.5850279037414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55302340-2.55311927) × cos(-1.42691721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1433832186229 × 6371000     		du = 87.5767163581017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42690346)-sin(-1.42691721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143396826533942-0.1433832186229)×R²
    abs(2.55311927-2.55302340)×1.36079110419629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36079110419629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36079110419629e-05×40589641000000     		ar = 7672.19387521136m²