Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59396 / 86108
↖ ↑ ↗
← S 49.088258°
W 16.864013°		 ← 199.98 m → S 49.088258°
W 16.861267°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
S 49.090057°
W 16.864013°		 ← 199.97 m →
40 005 m²		 S 49.090057°
W 16.861267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453159332275391 y=0.656955718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453159332275391 × 217)
    floor (0.453159332275391 × 131072)
    floor (59396.5)     		tx = 59396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656955718994141 × 217)
    floor (0.656955718994141 × 131072)
    floor (86108.5)     		ty = 86108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59396 / 86108 ti = "17/59396/86108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59396/86108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59396 ÷ 217
    59396 ÷ 131072     		x = 0.453155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86108 ÷ 217
    86108 ÷ 131072     		y = 0.656951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.09368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29433256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.31390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.986157898983795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29433256} λ = -0.29433256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986157898983795))-π/2
    2×atan(0.373007072279285)-π/2
    2×0.357022302201086-π/2
    0.714044604402173-1.57079632675     		φ = -0.85675172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29433256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.864013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85675172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.088258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59396 KachelY 86108 -0.29433256 -0.85675172 -16.864013 -49.088258
    Oben rechts KachelX + 1 59397 KachelY 86108 -0.29428463 -0.85675172 -16.861267 -49.088258
    Unten links KachelX 59396 KachelY + 1 86109 -0.29433256 -0.85678312 -16.864013 -49.090057
    Unten rechts KachelX + 1 59397 KachelY + 1 86109 -0.29428463 -0.85678312 -16.861267 -49.090057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85675172--0.85678312) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85675172--0.85678312) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29433256--0.29428463) × cos(-0.85675172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654895706639058 × 6371000     		do = 199.98028241771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29433256--0.29428463) × cos(-0.85678312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654871976731168 × 6371000     		du = 199.973036204865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85675172)-sin(-0.85678312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654895706639058-0.654871976731168)×R²
    abs(-0.29428463--0.29433256)×2.37299078907904e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37299078907904e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37299078907904e-05×40589641000000     		ar = 40005.2107124419m²