Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59394 / 45624
↖ ↑ ↗
← N 47.886881°
W 16.869507°		 ← 204.82 m → N 47.886881°
W 16.866760°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
N 47.885039°
W 16.869507°		 ← 204.82 m →
41 953 m²		 N 47.885039°
W 16.866760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453144073486328 y=0.348087310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453144073486328 × 217)
    floor (0.453144073486328 × 131072)
    floor (59394.5)     		tx = 59394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348087310791016 × 217)
    floor (0.348087310791016 × 131072)
    floor (45624.5)     		ty = 45624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59394 / 45624 ti = "17/59394/45624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59394/45624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59394 ÷ 217
    59394 ÷ 131072     		x = 0.453140258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45624 ÷ 217
    45624 ÷ 131072     		y = 0.34808349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453140258789062 × 2 - 1) × π
    -0.093719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29442844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34808349609375 × 2 - 1) × π
    0.3038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.954519545234558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29442844} λ = -0.29442844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954519545234558))-π/2
    2×atan(2.59742233914049)-π/2
    2×1.20329003306899-π/2
    2.40658006613798-1.57079632675     		φ = 0.83578374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29442844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.869507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83578374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.886881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59394 KachelY 45624 -0.29442844 0.83578374 -16.869507 47.886881
    Oben rechts KachelX + 1 59395 KachelY 45624 -0.29438050 0.83578374 -16.866760 47.886881
    Unten links KachelX 59394 KachelY + 1 45625 -0.29442844 0.83575159 -16.869507 47.885039
    Unten rechts KachelX + 1 59395 KachelY + 1 45625 -0.29438050 0.83575159 -16.866760 47.885039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83578374-0.83575159) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83578374-0.83575159) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29442844--0.29438050) × cos(0.83578374) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670596492856325 × 6371000     		do = 204.817430072151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29442844--0.29438050) × cos(0.83575159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670620342097106 × 6371000     		du = 204.824714244164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83578374)-sin(0.83575159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670596492856325-0.670620342097106)×R²
    abs(-0.29438050--0.29442844)×2.38492407805824e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38492407805824e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38492407805824e-05×40589641000000     		ar = 41953.0188844087m²