Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59393 / 60188
↖ ↑ ↗
← S 81.745300°
E146.255493°		 ← 87.70 m → S 81.745300°
E146.260986°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
S 81.746088°
E146.255493°		 ← 87.69 m →
7 688 m²		 S 81.746088°
E146.260986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906272888183594 y=0.918403625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906272888183594 × 216)
    floor (0.906272888183594 × 65536)
    floor (59393.5)     		tx = 59393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918403625488281 × 216)
    floor (0.918403625488281 × 65536)
    floor (60188.5)     		ty = 60188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59393 / 60188 ti = "16/59393/60188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59393/60188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59393 ÷ 216
    59393 ÷ 65536     		x = 0.906265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60188 ÷ 216
    60188 ÷ 65536     		y = 0.91839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906265258789062 × 2 - 1) × π
    0.812530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55263990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.8367919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62885957516388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55263990} λ = 2.55263990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62885957516388))-π/2
    2×atan(0.0721607091965753)-π/2
    2×0.0720358480912514-π/2
    0.144071696182503-1.57079632675     		φ = -1.42672463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55263990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.255493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42672463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.745300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59393 KachelY 60188 2.55263990 -1.42672463 146.255493 -81.745300
    Oben rechts KachelX + 1 59394 KachelY 60188 2.55273578 -1.42672463 146.260986 -81.745300
    Unten links KachelX 59393 KachelY + 1 60189 2.55263990 -1.42673839 146.255493 -81.746088
    Unten rechts KachelX + 1 59394 KachelY + 1 60189 2.55273578 -1.42673839 146.260986 -81.746088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42672463--1.42673839) × R
    1.37599999998628e-05 × 6371000     		dl = 87.6649599991257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42672463--1.42673839) × R
    1.37599999998628e-05 × 6371000     		dr = 87.6649599991257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55263990-2.55273578) × cos(-1.42672463) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143573806080621 × 6371000     		do = 87.702271933523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55263990-2.55273578) × cos(-1.42673839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143560188625965 × 6371000     		du = 87.6939536911923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42672463)-sin(-1.42673839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143573806080621-0.143560188625965)×R²
    abs(2.55273578-2.55263990)×1.36174546564727e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36174546564727e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36174546564727e-05×40589641000000     		ar = 7688.05155153408m²