Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59391 / 82773
↖ ↑ ↗
← S 42.724822°
W 16.877747°		 ← 224.37 m → S 42.724822°
W 16.875000°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.726839°
W 16.877747°		 ← 224.36 m →
50 331 m²		 S 42.726839°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453121185302734 y=0.631511688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453121185302734 × 217)
    floor (0.453121185302734 × 131072)
    floor (59391.5)     		tx = 59391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631511688232422 × 217)
    floor (0.631511688232422 × 131072)
    floor (82773.5)     		ty = 82773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59391 / 82773 ti = "17/59391/82773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59391/82773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59391 ÷ 217
    59391 ÷ 131072     		x = 0.453117370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82773 ÷ 217
    82773 ÷ 131072     		y = 0.631507873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453117370605469 × 2 - 1) × π
    -0.0937652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29457225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631507873535156 × 2 - 1) × π
    -0.263015747070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.826288338750908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29457225} λ = -0.29457225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826288338750908))-π/2
    2×atan(0.437670760880903)-π/2
    2×0.412553759775159-π/2
    0.825107519550319-1.57079632675     		φ = -0.74568881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29457225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.877747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74568881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.724822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59391 KachelY 82773 -0.29457225 -0.74568881 -16.877747 -42.724822
    Oben rechts KachelX + 1 59392 KachelY 82773 -0.29452431 -0.74568881 -16.875000 -42.724822
    Unten links KachelX 59391 KachelY + 1 82774 -0.29457225 -0.74572402 -16.877747 -42.726839
    Unten rechts KachelX + 1 59392 KachelY + 1 82774 -0.29452431 -0.74572402 -16.875000 -42.726839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74568881--0.74572402) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dl = 224.322910000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74568881--0.74572402) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dr = 224.322910000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29457225--0.29452431) × cos(-0.74568881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734620734270901 × 6371000     		do = 224.372081383886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29457225--0.29452431) × cos(-0.74572402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734596844605667 × 6371000     		du = 224.364784865204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74568881)-sin(-0.74572402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734620734270901-0.734596844605667)×R²
    abs(-0.29452431--0.29457225)×2.38896652346998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38896652346998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38896652346998e-05×40589641000000     		ar = 50330.9798360451m²