Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59391 / 60191
↖ ↑ ↗
← S 81.747666°
E146.244507°		 ← 87.67 m → S 81.747666°
E146.250000°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
S 81.748454°
E146.244507°		 ← 87.66 m →
7 685 m²		 S 81.748454°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906242370605469 y=0.918449401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906242370605469 × 216)
    floor (0.906242370605469 × 65536)
    floor (59391.5)     		tx = 59391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918449401855469 × 216)
    floor (0.918449401855469 × 65536)
    floor (60191.5)     		ty = 60191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59391 / 60191 ti = "16/59391/60191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59391/60191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59391 ÷ 216
    59391 ÷ 65536     		x = 0.906234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60191 ÷ 216
    60191 ÷ 65536     		y = 0.918441772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906234741210938 × 2 - 1) × π
    0.812469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55244816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918441772460938 × 2 - 1) × π
    -0.836883544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6291471965616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55244816} λ = 2.55244816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6291471965616))-π/2
    2×atan(0.0721399572170354)-π/2
    2×0.0720152035802359-π/2
    0.144030407160472-1.57079632675     		φ = -1.42676592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55244816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42676592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.747666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59391 KachelY 60191 2.55244816 -1.42676592 146.244507 -81.747666
    Oben rechts KachelX + 1 59392 KachelY 60191 2.55254403 -1.42676592 146.250000 -81.747666
    Unten links KachelX 59391 KachelY + 1 60192 2.55244816 -1.42677968 146.244507 -81.748454
    Unten rechts KachelX + 1 59392 KachelY + 1 60192 2.55254403 -1.42677968 146.250000 -81.748454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42676592--1.42677968) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dl = 87.6649600005404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42676592--1.42677968) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dr = 87.6649600005404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55244816-2.55254403) × cos(-1.42676592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143532943738655 × 6371000     		do = 87.6681666276664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55244816-2.55254403) × cos(-1.42677968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143519326202442 × 6371000     		du = 87.6598492030902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42676592)-sin(-1.42677968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143532943738655-0.143519326202442)×R²
    abs(2.55254403-2.55244816)×1.36175362127067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36175362127067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36175362127067e-05×40589641000000     		ar = 7685.06174726793m²