Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5939 / 6926
↖ ↑ ↗
← N 26.784848°
W 49.504395°		 ← 2 181.13 m → N 26.784848°
W 49.482422°		 →
↑
2 181.30 m
↓
↑
2 181.30 m
↓
N 26.765231°
W 49.504395°		 ← 2 181.50 m →
4 758 110 m²		 N 26.765231°
W 49.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362518310546875 y=0.422760009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362518310546875 × 214)
    floor (0.362518310546875 × 16384)
    floor (5939.5)     		tx = 5939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422760009765625 × 214)
    floor (0.422760009765625 × 16384)
    floor (6926.5)     		ty = 6926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5939 / 6926 ti = "14/5939/6926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5939/6926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5939 ÷ 214
    5939 ÷ 16384     		x = 0.36248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6926 ÷ 214
    6926 ÷ 16384     		y = 0.4227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.2750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86401468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4227294921875 × 2 - 1) × π
    0.154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.485504919351929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86401468} λ = -0.86401468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485504919351929))-π/2
    2×atan(1.62499529330844)-π/2
    2×1.01914005143848-π/2
    2.03828010287697-1.57079632675     		φ = 0.46748378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86401468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.504395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46748378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.784848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5939 KachelY 6926 -0.86401468 0.46748378 -49.504395 26.784848
    Oben rechts KachelX + 1 5940 KachelY 6926 -0.86363118 0.46748378 -49.482422 26.784848
    Unten links KachelX 5939 KachelY + 1 6927 -0.86401468 0.46714140 -49.504395 26.765231
    Unten rechts KachelX + 1 5940 KachelY + 1 6927 -0.86363118 0.46714140 -49.482422 26.765231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46748378-0.46714140) × R
    0.000342380000000031 × 6371000     		dl = 2181.3029800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46748378-0.46714140) × R
    0.000342380000000031 × 6371000     		dr = 2181.3029800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86401468--0.86363118) × cos(0.46748378) × R
    0.000383499999999981 × 0.892705026102043 × 6371000     		do = 2181.12699711695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86401468--0.86363118) × cos(0.46714140) × R
    0.000383499999999981 × 0.89285926440299 × 6371000     		du = 2181.50384424153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46748378)-sin(0.46714140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892705026102043-0.89285926440299)×R²
    abs(-0.86363118--0.86401468)×0.000154238300946297×R²
    0.000383499999999981×0.000154238300946297×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154238300946297×40589641000000     		ar = 4758109.87392883m²