Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59389 / 86093
↖ ↑ ↗
← S 49.061270°
W 16.883240°		 ← 200.09 m → S 49.061270°
W 16.880493°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
S 49.063069°
W 16.883240°		 ← 200.08 m →
40 040 m²		 S 49.063069°
W 16.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453105926513672 y=0.656841278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453105926513672 × 217)
    floor (0.453105926513672 × 131072)
    floor (59389.5)     		tx = 59389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656841278076172 × 217)
    floor (0.656841278076172 × 131072)
    floor (86093.5)     		ty = 86093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59389 / 86093 ti = "17/59389/86093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59389/86093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59389 ÷ 217
    59389 ÷ 131072     		x = 0.453102111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86093 ÷ 217
    86093 ÷ 131072     		y = 0.656837463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453102111816406 × 2 - 1) × π
    -0.0937957763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29466812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656837463378906 × 2 - 1) × π
    -0.313674926757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.985438845489494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29466812} λ = -0.29466812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985438845489494))-π/2
    2×atan(0.373275380770525)-π/2
    2×0.357257818699202-π/2
    0.714515637398405-1.57079632675     		φ = -0.85628069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29466812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.883240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85628069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.061270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59389 KachelY 86093 -0.29466812 -0.85628069 -16.883240 -49.061270
    Oben rechts KachelX + 1 59390 KachelY 86093 -0.29462019 -0.85628069 -16.880493 -49.061270
    Unten links KachelX 59389 KachelY + 1 86094 -0.29466812 -0.85631210 -16.883240 -49.063069
    Unten rechts KachelX + 1 59390 KachelY + 1 86094 -0.29462019 -0.85631210 -16.880493 -49.063069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85628069--0.85631210) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dl = 200.113110000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85628069--0.85631210) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dr = 200.113110000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29466812--0.29462019) × cos(-0.85628069) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.655251600422526 × 6371000     		do = 200.088958865662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29466812--0.29462019) × cos(-0.85631210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.65522787264891 × 6371000     		du = 200.081713304543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85628069)-sin(-0.85631210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655251600422526-0.65522787264891)×R²
    abs(-0.29462019--0.29466812)×2.37277736157004e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37277736157004e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37277736157004e-05×40589641000000     		ar = 40039.6988728531m²