Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59389 / 45655
↖ ↑ ↗
← N 47.829752°
W 16.883240°		 ← 205 m → N 47.829752°
W 16.880493°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
N 47.827908°
W 16.883240°		 ← 205.01 m →
42 030 m²		 N 47.827908°
W 16.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453105926513672 y=0.348323822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453105926513672 × 217)
    floor (0.453105926513672 × 131072)
    floor (59389.5)     		tx = 59389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348323822021484 × 217)
    floor (0.348323822021484 × 131072)
    floor (45655.5)     		ty = 45655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59389 / 45655 ti = "17/59389/45655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59389/45655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59389 ÷ 217
    59389 ÷ 131072     		x = 0.453102111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45655 ÷ 217
    45655 ÷ 131072     		y = 0.348320007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453102111816406 × 2 - 1) × π
    -0.0937957763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29466812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348320007324219 × 2 - 1) × π
    0.303359985351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.953033501346336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29466812} λ = -0.29466812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953033501346336))-π/2
    2×atan(2.59356532210637)-π/2
    2×1.20279149050001-π/2
    2.40558298100002-1.57079632675     		φ = 0.83478665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29466812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.883240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83478665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.829752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59389 KachelY 45655 -0.29466812 0.83478665 -16.883240 47.829752
    Oben rechts KachelX + 1 59390 KachelY 45655 -0.29462019 0.83478665 -16.880493 47.829752
    Unten links KachelX 59389 KachelY + 1 45656 -0.29466812 0.83475447 -16.883240 47.827908
    Unten rechts KachelX + 1 59390 KachelY + 1 45656 -0.29462019 0.83475447 -16.880493 47.827908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83478665-0.83475447) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dl = 205.0187799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83478665-0.83475447) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dr = 205.0187799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29466812--0.29462019) × cos(0.83478665) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671335822994012 × 6371000     		do = 205.00046972106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29466812--0.29462019) × cos(0.83475447) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671359672959571 × 6371000     		du = 205.007752594959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83478665)-sin(0.83475447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671335822994012-0.671359672959571)×R²
    abs(-0.29462019--0.29466812)×2.38499655591529e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38499655591529e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38499655591529e-05×40589641000000     		ar = 42029.6927682065m²