Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59388 / 86068
↖ ↑ ↗
← S 49.016257°
W 16.885986°		 ← 200.31 m → S 49.016257°
W 16.883240°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
S 49.018058°
W 16.885986°		 ← 200.30 m →
40 110 m²		 S 49.018058°
W 16.883240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453098297119141 y=0.656650543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453098297119141 × 217)
    floor (0.453098297119141 × 131072)
    floor (59388.5)     		tx = 59388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656650543212891 × 217)
    floor (0.656650543212891 × 131072)
    floor (86068.5)     		ty = 86068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59388 / 86068 ti = "17/59388/86068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59388/86068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59388 ÷ 217
    59388 ÷ 131072     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86068 ÷ 217
    86068 ÷ 131072     		y = 0.656646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.31329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.984240422998993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984240422998993))-π/2
    2×atan(0.373722990541226)-π/2
    2×0.357650630566233-π/2
    0.715301261132466-1.57079632675     		φ = -0.85549507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85549507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.016257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59388 KachelY 86068 -0.29471606 -0.85549507 -16.885986 -49.016257
    Oben rechts KachelX + 1 59389 KachelY 86068 -0.29466812 -0.85549507 -16.883240 -49.016257
    Unten links KachelX 59388 KachelY + 1 86069 -0.29471606 -0.85552650 -16.885986 -49.018058
    Unten rechts KachelX + 1 59389 KachelY + 1 86069 -0.29466812 -0.85552650 -16.883240 -49.018058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85549507--0.85552650) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dl = 200.24052999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85549507--0.85552650) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dr = 200.24052999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29466812) × cos(-0.85549507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655844863912901 × 6371000     		do = 200.311902885898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29466812) × cos(-0.85552650) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655821137217188 × 6371000     		du = 200.304656142302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85549507)-sin(-0.85552650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655844863912901-0.655821137217188)×R²
    abs(-0.29466812--0.29471606)×2.37266957128224e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37266957128224e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37266957128224e-05×40589641000000     		ar = 40109.8360563955m²