Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59388 / 86036
↖ ↑ ↗
← S 48.958581°
W 16.885986°		 ← 200.54 m → S 48.958581°
W 16.883240°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 48.960384°
W 16.885986°		 ← 200.54 m →
40 207 m²		 S 48.960384°
W 16.883240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453098297119141 y=0.656406402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453098297119141 × 217)
    floor (0.453098297119141 × 131072)
    floor (59388.5)     		tx = 59388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656406402587891 × 217)
    floor (0.656406402587891 × 131072)
    floor (86036.5)     		ty = 86036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59388 / 86036 ti = "17/59388/86036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59388/86036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59388 ÷ 217
    59388 ÷ 131072     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86036 ÷ 217
    86036 ÷ 131072     		y = 0.656402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.31280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.982706442211151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982706442211151))-π/2
    2×atan(0.374296714356845)-π/2
    2×0.358153948558078-π/2
    0.716307897116156-1.57079632675     		φ = -0.85448843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85448843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.958581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59388 KachelY 86036 -0.29471606 -0.85448843 -16.885986 -48.958581
    Oben rechts KachelX + 1 59389 KachelY 86036 -0.29466812 -0.85448843 -16.883240 -48.958581
    Unten links KachelX 59388 KachelY + 1 86037 -0.29471606 -0.85451990 -16.885986 -48.960384
    Unten rechts KachelX + 1 59389 KachelY + 1 86037 -0.29466812 -0.85451990 -16.883240 -48.960384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85448843--0.85451990) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85448843--0.85451990) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29466812) × cos(-0.85448843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656604439698071 × 6371000     		do = 200.54389688217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29466812) × cos(-0.85451990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656580703593846 × 6371000     		du = 200.536647264972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85448843)-sin(-0.85451990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656604439698071-0.656580703593846)×R²
    abs(-0.29466812--0.29471606)×2.3736104225125e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3736104225125e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3736104225125e-05×40589641000000     		ar = 40207.3960526883m²