Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59388 / 59909
↖ ↑ ↗
← S 81.522322°
E146.228028°		 ← 90.04 m → S 81.522322°
E146.233521°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
S 81.523132°
E146.228028°		 ← 90.04 m →
8 111 m²		 S 81.523132°
E146.233521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906196594238281 y=0.914146423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906196594238281 × 216)
    floor (0.906196594238281 × 65536)
    floor (59388.5)     		tx = 59388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914146423339844 × 216)
    floor (0.914146423339844 × 65536)
    floor (59909.5)     		ty = 59909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59388 / 59909 ti = "16/59388/59909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59388/59909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59388 ÷ 216
    59388 ÷ 65536     		x = 0.90618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59909 ÷ 216
    59909 ÷ 65536     		y = 0.914138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90618896484375 × 2 - 1) × π
    0.8123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55216054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914138793945312 × 2 - 1) × π
    -0.828277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60211078517589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55216054} λ = 2.55216054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60211078517589))-π/2
    2×atan(0.0741169679898959)-π/2
    2×0.0739816973657216-π/2
    0.147963394731443-1.57079632675     		φ = -1.42283293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55216054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42283293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.522322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59388 KachelY 59909 2.55216054 -1.42283293 146.228028 -81.522322
    Oben rechts KachelX + 1 59389 KachelY 59909 2.55225641 -1.42283293 146.233521 -81.522322
    Unten links KachelX 59388 KachelY + 1 59910 2.55216054 -1.42284707 146.228028 -81.523132
    Unten rechts KachelX + 1 59389 KachelY + 1 59910 2.55225641 -1.42284707 146.233521 -81.523132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42283293--1.42284707) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42283293--1.42284707) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55216054-2.55225641) × cos(-1.42283293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147424089603144 × 6371000     		do = 90.0448309329827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55216054-2.55225641) × cos(-1.42284707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147410104090908 × 6371000     		du = 90.0362887531517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42283293)-sin(-1.42284707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147424089603144-0.147410104090908)×R²
    abs(2.55225641-2.55216054)×1.3985512236192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3985512236192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3985512236192e-05×40589641000000     		ar = 8111.38847198965m²