Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59388 / 45611
↖ ↑ ↗
← N 47.910819°
W 16.885986°		 ← 204.72 m → N 47.910819°
W 16.883240°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
N 47.908978°
W 16.885986°		 ← 204.73 m →
41 908 m²		 N 47.908978°
W 16.883240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453098297119141 y=0.347988128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453098297119141 × 217)
    floor (0.453098297119141 × 131072)
    floor (59388.5)     		tx = 59388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347988128662109 × 217)
    floor (0.347988128662109 × 131072)
    floor (45611.5)     		ty = 45611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59388 / 45611 ti = "17/59388/45611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59388/45611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59388 ÷ 217
    59388 ÷ 131072     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45611 ÷ 217
    45611 ÷ 131072     		y = 0.347984313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347984313964844 × 2 - 1) × π
    0.304031372070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.955142724929619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955142724929619))-π/2
    2×atan(2.59904150446482)-π/2
    2×1.20349893583162-π/2
    2.40699787166324-1.57079632675     		φ = 0.83620154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83620154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.910819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59388 KachelY 45611 -0.29471606 0.83620154 -16.885986 47.910819
    Oben rechts KachelX + 1 59389 KachelY 45611 -0.29466812 0.83620154 -16.883240 47.910819
    Unten links KachelX 59388 KachelY + 1 45612 -0.29471606 0.83616941 -16.885986 47.908978
    Unten rechts KachelX + 1 59389 KachelY + 1 45612 -0.29466812 0.83616941 -16.883240 47.908978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83620154-0.83616941) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83620154-0.83616941) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29466812) × cos(0.83620154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670286500974452 × 6371000     		do = 204.722750572236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29466812) × cos(0.83616941) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670310344379327 × 6371000     		du = 204.730032961814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83620154)-sin(0.83616941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670286500974452-0.670310344379327)×R²
    abs(-0.29466812--0.29471606)×2.38434048746017e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38434048746017e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38434048746017e-05×40589641000000     		ar = 41907.5394854583m²