Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59387 / 60137
↖ ↑ ↗
← S 81.704980°
E146.222534°		 ← 88.13 m → S 81.704980°
E146.228028°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
S 81.705773°
E146.222534°		 ← 88.12 m →
7 765 m²		 S 81.705773°
E146.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906181335449219 y=0.917625427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906181335449219 × 216)
    floor (0.906181335449219 × 65536)
    floor (59387.5)     		tx = 59387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917625427246094 × 216)
    floor (0.917625427246094 × 65536)
    floor (60137.5)     		ty = 60137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59387 / 60137 ti = "16/59387/60137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59387/60137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59387 ÷ 216
    59387 ÷ 65536     		x = 0.906173706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60137 ÷ 216
    60137 ÷ 65536     		y = 0.917617797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906173706054688 × 2 - 1) × π
    0.812347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55206466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917617797851562 × 2 - 1) × π
    -0.835235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62397001140263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55206466} λ = 2.55206466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62397001140263))-π/2
    2×atan(0.0725144075960068)-π/2
    2×0.0723877053159259-π/2
    0.144775410631852-1.57079632675     		φ = -1.42602092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55206466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.222534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42602092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.704980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59387 KachelY 60137 2.55206466 -1.42602092 146.222534 -81.704980
    Oben rechts KachelX + 1 59388 KachelY 60137 2.55216054 -1.42602092 146.228028 -81.704980
    Unten links KachelX 59387 KachelY + 1 60138 2.55206466 -1.42603475 146.222534 -81.705773
    Unten rechts KachelX + 1 59388 KachelY + 1 60138 2.55216054 -1.42603475 146.228028 -81.705773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42602092--1.42603475) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42602092--1.42603475) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55206466-2.55216054) × cos(-1.42602092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144270189765275 × 6371000     		do = 88.1276589379412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55206466-2.55216054) × cos(-1.42603475) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144256504436334 × 6371000     		du = 88.1192992345032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42602092)-sin(-1.42603475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144270189765275-0.144256504436334)×R²
    abs(2.55216054-2.55206466)×1.36853289411099e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36853289411099e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36853289411099e-05×40589641000000     		ar = 7764.64169721959m²