Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59387 / 59908
↖ ↑ ↗
← S 81.521512°
E146.222534°		 ← 90.06 m → S 81.521512°
E146.228028°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
S 81.522322°
E146.222534°		 ← 90.05 m →
8 107 m²		 S 81.522322°
E146.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906181335449219 y=0.914131164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906181335449219 × 216)
    floor (0.906181335449219 × 65536)
    floor (59387.5)     		tx = 59387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914131164550781 × 216)
    floor (0.914131164550781 × 65536)
    floor (59908.5)     		ty = 59908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59387 / 59908 ti = "16/59387/59908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59387/59908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59387 ÷ 216
    59387 ÷ 65536     		x = 0.906173706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59908 ÷ 216
    59908 ÷ 65536     		y = 0.91412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906173706054688 × 2 - 1) × π
    0.812347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55206466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.8282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60201491137665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55206466} λ = 2.55206466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60201491137665))-π/2
    2×atan(0.0741240742058498)-π/2
    2×0.07398876475449-π/2
    0.14797752950898-1.57079632675     		φ = -1.42281880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55206466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.222534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42281880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.521512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59387 KachelY 59908 2.55206466 -1.42281880 146.222534 -81.521512
    Oben rechts KachelX + 1 59388 KachelY 59908 2.55216054 -1.42281880 146.228028 -81.521512
    Unten links KachelX 59387 KachelY + 1 59909 2.55206466 -1.42283293 146.222534 -81.522322
    Unten rechts KachelX + 1 59388 KachelY + 1 59909 2.55216054 -1.42283293 146.228028 -81.522322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42281880--1.42283293) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42281880--1.42283293) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55206466-2.55216054) × cos(-1.42281880) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147438065195192 × 6371000     		do = 90.0627603327603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55206466-2.55216054) × cos(-1.42283293) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147424089603144 × 6371000     		du = 90.0542233216742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42281880)-sin(-1.42283293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147438065195192-0.147424089603144)×R²
    abs(2.55216054-2.55206466)×1.39755920474383e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39755920474383e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39755920474383e-05×40589641000000     		ar = 8107.26626497431m²