Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59387 / 45610
↖ ↑ ↗
← N 47.912661°
W 16.888733°		 ← 204.72 m → N 47.912661°
W 16.885986°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
N 47.910819°
W 16.888733°		 ← 204.72 m →
41 919 m²		 N 47.910819°
W 16.885986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453090667724609 y=0.347980499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453090667724609 × 217)
    floor (0.453090667724609 × 131072)
    floor (59387.5)     		tx = 59387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347980499267578 × 217)
    floor (0.347980499267578 × 131072)
    floor (45610.5)     		ty = 45610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59387 / 45610 ti = "17/59387/45610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59387/45610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59387 ÷ 217
    59387 ÷ 131072     		x = 0.453086853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45610 ÷ 217
    45610 ÷ 131072     		y = 0.347976684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453086853027344 × 2 - 1) × π
    -0.0938262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29476400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347976684570312 × 2 - 1) × π
    0.304046630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.955190661829239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29476400} λ = -0.29476400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955190661829239))-π/2
    2×atan(2.5991660974428)-π/2
    2×1.20351500127413-π/2
    2.40703000254826-1.57079632675     		φ = 0.83623368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29476400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.888733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83623368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.912661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59387 KachelY 45610 -0.29476400 0.83623368 -16.888733 47.912661
    Oben rechts KachelX + 1 59388 KachelY 45610 -0.29471606 0.83623368 -16.885986 47.912661
    Unten links KachelX 59387 KachelY + 1 45611 -0.29476400 0.83620154 -16.888733 47.910819
    Unten rechts KachelX + 1 59388 KachelY + 1 45611 -0.29471606 0.83620154 -16.885986 47.910819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83623368-0.83620154) × R
    3.21399999999583e-05 × 6371000     		dl = 204.763939999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83623368-0.83620154) × R
    3.21399999999583e-05 × 6371000     		dr = 204.763939999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29476400--0.29471606) × cos(0.83623368) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670262649456376 × 6371000     		do = 204.715465704677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29476400--0.29471606) × cos(0.83620154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670286500974452 × 6371000     		du = 204.722750572236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83623368)-sin(0.83620154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670262649456376-0.670286500974452)×R²
    abs(-0.29471606--0.29476400)×2.38515180756016e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38515180756016e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38515180756016e-05×40589641000000     		ar = 41919.0911791995m²