Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59385 / 60219
↖ ↑ ↗
← S 81.769713°
E146.211548°		 ← 87.44 m → S 81.769713°
E146.217041°		 →
↑
87.41 m
↓
↑
87.41 m
↓
S 81.770499°
E146.211548°		 ← 87.44 m →
7 643 m²		 S 81.770499°
E146.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906150817871094 y=0.918876647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906150817871094 × 216)
    floor (0.906150817871094 × 65536)
    floor (59385.5)     		tx = 59385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918876647949219 × 216)
    floor (0.918876647949219 × 65536)
    floor (60219.5)     		ty = 60219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59385 / 60219 ti = "16/59385/60219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59385/60219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59385 ÷ 216
    59385 ÷ 65536     		x = 0.906143188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60219 ÷ 216
    60219 ÷ 65536     		y = 0.918869018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906143188476562 × 2 - 1) × π
    0.812286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55187291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918869018554688 × 2 - 1) × π
    -0.837738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.63183166294032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55187291} λ = 2.55187291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63183166294032))-π/2
    2×atan(0.0719465596281273)-π/2
    2×0.0718228045871497-π/2
    0.143645609174299-1.57079632675     		φ = -1.42715072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55187291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.211548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42715072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.769713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59385 KachelY 60219 2.55187291 -1.42715072 146.211548 -81.769713
    Oben rechts KachelX + 1 59386 KachelY 60219 2.55196879 -1.42715072 146.217041 -81.769713
    Unten links KachelX 59385 KachelY + 1 60220 2.55187291 -1.42716444 146.211548 -81.770499
    Unten rechts KachelX + 1 59386 KachelY + 1 60220 2.55196879 -1.42716444 146.217041 -81.770499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42715072--1.42716444) × R
    1.37200000001059e-05 × 6371000     		dl = 87.4101200006745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42715072--1.42716444) × R
    1.37200000001059e-05 × 6371000     		dr = 87.4101200006745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55187291-2.55196879) × cos(-1.42715072) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143152117517876 × 6371000     		do = 87.4446828508714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55187291-2.55196879) × cos(-1.42716444) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143138538810829 × 6371000     		du = 87.4363882775752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42715072)-sin(-1.42716444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143152117517876-0.143138538810829)×R²
    abs(2.55196879-2.55187291)×1.35787070470184e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.35787070470184e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.35787070470184e-05×40589641000000     		ar = 7643.1877064564m²