Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59384 / 82394
↖ ↑ ↗
← S 41.955405°
W 16.896973°		 ← 227.13 m → S 41.955405°
W 16.894226°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.957448°
W 16.896973°		 ← 227.13 m →
51 587 m²		 S 41.957448°
W 16.894226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453067779541016 y=0.628620147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453067779541016 × 217)
    floor (0.453067779541016 × 131072)
    floor (59384.5)     		tx = 59384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628620147705078 × 217)
    floor (0.628620147705078 × 131072)
    floor (82394.5)     		ty = 82394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59384 / 82394 ti = "17/59384/82394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59384/82394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59384 ÷ 217
    59384 ÷ 131072     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82394 ÷ 217
    82394 ÷ 131072     		y = 0.628616333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628616333007812 × 2 - 1) × π
    -0.257232666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.808120253794907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808120253794907))-π/2
    2×atan(0.445695072918349)-π/2
    2×0.419268183935202-π/2
    0.838536367870404-1.57079632675     		φ = -0.73225996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73225996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.955405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59384 KachelY 82394 -0.29490781 -0.73225996 -16.896973 -41.955405
    Oben rechts KachelX + 1 59385 KachelY 82394 -0.29485987 -0.73225996 -16.894226 -41.955405
    Unten links KachelX 59384 KachelY + 1 82395 -0.29490781 -0.73229561 -16.896973 -41.957448
    Unten rechts KachelX + 1 59385 KachelY + 1 82395 -0.29485987 -0.73229561 -16.894226 -41.957448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73225996--0.73229561) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dl = 227.126149999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73225996--0.73229561) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dr = 227.126149999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29485987) × cos(-0.73225996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743665401969229 × 6371000     		do = 227.1345557087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29485987) × cos(-0.73229561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743641567618045 × 6371000     		du = 227.127276084352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73225996)-sin(-0.73229561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743665401969229-0.743641567618045)×R²
    abs(-0.29485987--0.29490781)×2.38343511843597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38343511843597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38343511843597e-05×40589641000000     		ar = 51587.3704790024m²