Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59384 / 45675
↖ ↑ ↗
← N 47.792861°
W 16.896973°		 ← 205.19 m → N 47.792861°
W 16.894226°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 47.791016°
W 16.896973°		 ← 205.20 m →
42 094 m²		 N 47.791016°
W 16.894226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453067779541016 y=0.348476409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453067779541016 × 217)
    floor (0.453067779541016 × 131072)
    floor (59384.5)     		tx = 59384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348476409912109 × 217)
    floor (0.348476409912109 × 131072)
    floor (45675.5)     		ty = 45675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59384 / 45675 ti = "17/59384/45675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59384/45675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59384 ÷ 217
    59384 ÷ 131072     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45675 ÷ 217
    45675 ÷ 131072     		y = 0.348472595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348472595214844 × 2 - 1) × π
    0.303054809570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.952074763353935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952074763353935))-π/2
    2×atan(2.59107996409025)-π/2
    2×1.20246955857982-π/2
    2.40493911715965-1.57079632675     		φ = 0.83414279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83414279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.792861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59384 KachelY 45675 -0.29490781 0.83414279 -16.896973 47.792861
    Oben rechts KachelX + 1 59385 KachelY 45675 -0.29485987 0.83414279 -16.894226 47.792861
    Unten links KachelX 59384 KachelY + 1 45676 -0.29490781 0.83411059 -16.896973 47.791016
    Unten rechts KachelX + 1 59385 KachelY + 1 45676 -0.29485987 0.83411059 -16.894226 47.791016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83414279-0.83411059) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dl = 205.146200000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83414279-0.83411059) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dr = 205.146200000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29485987) × cos(0.83414279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671812882771158 × 6371000     		do = 205.18894686178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29485987) × cos(0.83411059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671836733635827 × 6371000     		du = 205.196231529771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83414279)-sin(0.83411059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671812882771158-0.671836733635827)×R²
    abs(-0.29485987--0.29490781)×2.38508646696056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38508646696056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38508646696056e-05×40589641000000     		ar = 42094.479945369m²