Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59384 / 38890
↖ ↑ ↗
← N 58.845017°
W 16.896973°		 ← 158.01 m → N 58.845017°
W 16.894226°		 →
↑
158 m
↓
↑
158 m
↓
N 58.843596°
W 16.896973°		 ← 158.02 m →
24 967 m²		 N 58.843596°
W 16.894226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453067779541016 y=0.296710968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453067779541016 × 217)
    floor (0.453067779541016 × 131072)
    floor (59384.5)     		tx = 59384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296710968017578 × 217)
    floor (0.296710968017578 × 131072)
    floor (38890.5)     		ty = 38890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59384 / 38890 ti = "17/59384/38890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59384/38890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59384 ÷ 217
    59384 ÷ 131072     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38890 ÷ 217
    38890 ÷ 131072     		y = 0.296707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296707153320312 × 2 - 1) × π
    0.406585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27732662727602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27732662727602))-π/2
    2×atan(3.58703740803476)-π/2
    2×1.2989178099277-π/2
    2.5978356198554-1.57079632675     		φ = 1.02703929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02703929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.845017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59384 KachelY 38890 -0.29490781 1.02703929 -16.896973 58.845017
    Oben rechts KachelX + 1 59385 KachelY 38890 -0.29485987 1.02703929 -16.894226 58.845017
    Unten links KachelX 59384 KachelY + 1 38891 -0.29490781 1.02701449 -16.896973 58.843596
    Unten rechts KachelX + 1 59385 KachelY + 1 38891 -0.29485987 1.02701449 -16.894226 58.843596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02703929-1.02701449) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dl = 158.000800000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02703929-1.02701449) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dr = 158.000800000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29485987) × cos(1.02703929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51735479855317 × 6371000     		do = 158.013472190549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29485987) × cos(1.02701449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517376021514986 × 6371000     		du = 158.019954229367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02703929)-sin(1.02701449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51735479855317-0.517376021514986)×R²
    abs(-0.29485987--0.29490781)×2.12229618163917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12229618163917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12229618163917e-05×40589641000000     		ar = 24966.7671018282m²