Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59383 / 81530
↖ ↑ ↗
← S 40.166281°
W 16.899719°		 ← 233.35 m → S 40.166281°
W 16.896973°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
S 40.168380°
W 16.899719°		 ← 233.34 m →
54 456 m²		 S 40.168380°
W 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453060150146484 y=0.622028350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453060150146484 × 217)
    floor (0.453060150146484 × 131072)
    floor (59383.5)     		tx = 59383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622028350830078 × 217)
    floor (0.622028350830078 × 131072)
    floor (81530.5)     		ty = 81530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59383 / 81530 ti = "17/59383/81530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59383/81530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59383 ÷ 217
    59383 ÷ 131072     		x = 0.453056335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81530 ÷ 217
    81530 ÷ 131072     		y = 0.622024536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453056335449219 × 2 - 1) × π
    -0.0938873291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29495574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622024536132812 × 2 - 1) × π
    -0.244049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.766702772523178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29495574} λ = -0.29495574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766702772523178))-π/2
    2×atan(0.464542247362385)-π/2
    2×0.434881235321831-π/2
    0.869762470643661-1.57079632675     		φ = -0.70103386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29495574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.899719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70103386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.166281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59383 KachelY 81530 -0.29495574 -0.70103386 -16.899719 -40.166281
    Oben rechts KachelX + 1 59384 KachelY 81530 -0.29490781 -0.70103386 -16.896973 -40.166281
    Unten links KachelX 59383 KachelY + 1 81531 -0.29495574 -0.70107049 -16.899719 -40.168380
    Unten rechts KachelX + 1 59384 KachelY + 1 81531 -0.29490781 -0.70107049 -16.896973 -40.168380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70103386--0.70107049) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dl = 233.369729999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70103386--0.70107049) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dr = 233.369729999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29495574--0.29490781) × cos(-0.70103386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764175747747951 × 6371000     		do = 233.350257609225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29495574--0.29490781) × cos(-0.70107049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764152120589224 × 6371000     		du = 233.343042772073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70103386)-sin(-0.70107049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764175747747951-0.764152120589224)×R²
    abs(-0.29490781--0.29495574)×2.36271587275017e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36271587275017e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36271587275017e-05×40589641000000     		ar = 54456.0447574627m²