Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59382 / 45674
↖ ↑ ↗
← N 47.794706°
W 16.902466°		 ← 205.18 m → N 47.794706°
W 16.899719°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 47.792861°
W 16.902466°		 ← 205.19 m →
42 093 m²		 N 47.792861°
W 16.899719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453052520751953 y=0.348468780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453052520751953 × 217)
    floor (0.453052520751953 × 131072)
    floor (59382.5)     		tx = 59382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348468780517578 × 217)
    floor (0.348468780517578 × 131072)
    floor (45674.5)     		ty = 45674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59382 / 45674 ti = "17/59382/45674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59382/45674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59382 ÷ 217
    59382 ÷ 131072     		x = 0.453048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45674 ÷ 217
    45674 ÷ 131072     		y = 0.348464965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453048706054688 × 2 - 1) × π
    -0.093902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29500368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348464965820312 × 2 - 1) × π
    0.303070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.952122700253555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29500368} λ = -0.29500368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952122700253555))-π/2
    2×atan(2.59120417540752)-π/2
    2×1.2024856606073-π/2
    2.4049713212146-1.57079632675     		φ = 0.83417499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29500368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.902466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83417499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.794706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59382 KachelY 45674 -0.29500368 0.83417499 -16.902466 47.794706
    Oben rechts KachelX + 1 59383 KachelY 45674 -0.29495574 0.83417499 -16.899719 47.794706
    Unten links KachelX 59382 KachelY + 1 45675 -0.29500368 0.83414279 -16.902466 47.792861
    Unten rechts KachelX + 1 59383 KachelY + 1 45675 -0.29495574 0.83414279 -16.899719 47.792861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83417499-0.83414279) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83417499-0.83414279) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29500368--0.29495574) × cos(0.83417499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671789031209926 × 6371000     		do = 205.18166198104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29500368--0.29495574) × cos(0.83414279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671812882771158 × 6371000     		du = 205.18894686178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83417499)-sin(0.83414279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671789031209926-0.671812882771158)×R²
    abs(-0.29495574--0.29500368)×2.3851561231969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3851561231969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3851561231969e-05×40589641000000     		ar = 42092.985501505m²