Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59382 / 45648
↖ ↑ ↗
← N 47.842658°
W 16.902466°		 ← 204.99 m → N 47.842658°
W 16.899719°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
N 47.840814°
W 16.902466°		 ← 205 m →
42 028 m²		 N 47.840814°
W 16.899719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453052520751953 y=0.348270416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453052520751953 × 217)
    floor (0.453052520751953 × 131072)
    floor (59382.5)     		tx = 59382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348270416259766 × 217)
    floor (0.348270416259766 × 131072)
    floor (45648.5)     		ty = 45648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59382 / 45648 ti = "17/59382/45648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59382/45648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59382 ÷ 217
    59382 ÷ 131072     		x = 0.453048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45648 ÷ 217
    45648 ÷ 131072     		y = 0.3482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453048706054688 × 2 - 1) × π
    -0.093902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29500368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3482666015625 × 2 - 1) × π
    0.303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953369059643677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29500368} λ = -0.29500368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953369059643677))-π/2
    2×atan(2.59443576050315)-π/2
    2×1.20290411264624-π/2
    2.40580822529247-1.57079632675     		φ = 0.83501190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29500368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.902466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83501190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.842658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59382 KachelY 45648 -0.29500368 0.83501190 -16.902466 47.842658
    Oben rechts KachelX + 1 59383 KachelY 45648 -0.29495574 0.83501190 -16.899719 47.842658
    Unten links KachelX 59382 KachelY + 1 45649 -0.29500368 0.83497972 -16.902466 47.840814
    Unten rechts KachelX + 1 59383 KachelY + 1 45649 -0.29495574 0.83497972 -16.899719 47.840814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83501190-0.83497972) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dl = 205.018780000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83501190-0.83497972) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dr = 205.018780000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29500368--0.29495574) × cos(0.83501190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		do = 204.992246091894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29500368--0.29495574) × cos(0.83497972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671192716015079 × 6371000     		du = 204.999531971381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83501190)-sin(0.83497972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67116886118383-0.671192716015079)×R²
    abs(-0.29495574--0.29500368)×2.38548312484488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38548312484488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38548312484488e-05×40589641000000     		ar = 42028.0070780364m²