Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59380 / 86100
↖ ↑ ↗
← S 49.073866°
W 16.907959°		 ← 200.04 m → S 49.073866°
W 16.905213°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
S 49.075665°
W 16.907959°		 ← 200.03 m →
40 017 m²		 S 49.075665°
W 16.905213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453037261962891 y=0.656894683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453037261962891 × 217)
    floor (0.453037261962891 × 131072)
    floor (59380.5)     		tx = 59380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656894683837891 × 217)
    floor (0.656894683837891 × 131072)
    floor (86100.5)     		ty = 86100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59380 / 86100 ti = "17/59380/86100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59380/86100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59380 ÷ 217
    59380 ÷ 131072     		x = 0.453033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86100 ÷ 217
    86100 ÷ 131072     		y = 0.656890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.09393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29509955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.31378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985774403786835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29509955} λ = -0.29509955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985774403786835))-π/2
    2×atan(0.37315014613225)-π/2
    2×0.357147895076874-π/2
    0.714295790153749-1.57079632675     		φ = -0.85650054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29509955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85650054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.073866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59380 KachelY 86100 -0.29509955 -0.85650054 -16.907959 -49.073866
    Oben rechts KachelX + 1 59381 KachelY 86100 -0.29505162 -0.85650054 -16.905213 -49.073866
    Unten links KachelX 59380 KachelY + 1 86101 -0.29509955 -0.85653194 -16.907959 -49.075665
    Unten rechts KachelX + 1 59381 KachelY + 1 86101 -0.29505162 -0.85653194 -16.905213 -49.075665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85650054--0.85653194) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85650054--0.85653194) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29509955--0.29505162) × cos(-0.85650054) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.65508550754389 × 6371000     		do = 200.038240407073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29509955--0.29505162) × cos(-0.85653194) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.655061782801851 × 6371000     		du = 200.030995771683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85650054)-sin(-0.85653194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65508550754389-0.655061782801851)×R²
    abs(-0.29505162--0.29509955)×2.37247420393771e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37247420393771e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37247420393771e-05×40589641000000     		ar = 40016.80533123m²