Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59380 / 81527
↖ ↑ ↗
← S 40.159984°
W 16.907959°		 ← 233.37 m → S 40.159984°
W 16.905213°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.162083°
W 16.907959°		 ← 233.36 m →
54 476 m²		 S 40.162083°
W 16.905213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453037261962891 y=0.622005462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453037261962891 × 217)
    floor (0.453037261962891 × 131072)
    floor (59380.5)     		tx = 59380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622005462646484 × 217)
    floor (0.622005462646484 × 131072)
    floor (81527.5)     		ty = 81527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59380 / 81527 ti = "17/59380/81527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59380/81527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59380 ÷ 217
    59380 ÷ 131072     		x = 0.453033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81527 ÷ 217
    81527 ÷ 131072     		y = 0.622001647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.09393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29509955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622001647949219 × 2 - 1) × π
    -0.244003295898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.766558961824318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29509955} λ = -0.29509955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766558961824318))-π/2
    2×atan(0.464609058311578)-π/2
    2×0.434936186194623-π/2
    0.869872372389245-1.57079632675     		φ = -0.70092395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29509955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70092395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.159984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59380 KachelY 81527 -0.29509955 -0.70092395 -16.907959 -40.159984
    Oben rechts KachelX + 1 59381 KachelY 81527 -0.29505162 -0.70092395 -16.905213 -40.159984
    Unten links KachelX 59380 KachelY + 1 81528 -0.29509955 -0.70096059 -16.907959 -40.162083
    Unten rechts KachelX + 1 59381 KachelY + 1 81528 -0.29505162 -0.70096059 -16.905213 -40.162083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70092395--0.70096059) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70092395--0.70096059) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29509955--0.29505162) × cos(-0.70092395) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.76424663597046 × 6371000     		do = 233.371904180483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29509955--0.29505162) × cos(-0.70096059) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.764223005438881 × 6371000     		du = 233.36468831339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70092395)-sin(-0.70096059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76424663597046-0.764223005438881)×R²
    abs(-0.29505162--0.29509955)×2.36305315791663e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36305315791663e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36305315791663e-05×40589641000000     		ar = 54475.9641859665m²