Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5938 / 7947
↖ ↑ ↗
← N 67.563141°
W114.763183°		 ← 466.23 m → N 67.563141°
W114.752197°		 →
↑
466.29 m
↓
↑
466.29 m
↓
N 67.558948°
W114.763183°		 ← 466.32 m →
217 421 m²		 N 67.558948°
W114.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181228637695312 y=0.242538452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181228637695312 × 215)
    floor (0.181228637695312 × 32768)
    floor (5938.5)     		tx = 5938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242538452148438 × 215)
    floor (0.242538452148438 × 32768)
    floor (7947.5)     		ty = 7947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5938 / 7947 ti = "15/5938/7947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5938/7947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5938 ÷ 215
    5938 ÷ 32768     		x = 0.18121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7947 ÷ 215
    7947 ÷ 32768     		y = 0.242523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.6375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.00299541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242523193359375 × 2 - 1) × π
    0.51495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61777448837766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00299541} λ = -2.00299541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61777448837766))-π/2
    2×atan(5.04185710978813)-π/2
    2×1.3749977991924-π/2
    2.74999559838479-1.57079632675     		φ = 1.17919927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00299541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.763183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17919927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.563141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5938 KachelY 7947 -2.00299541 1.17919927 -114.763183 67.563141
    Oben rechts KachelX + 1 5939 KachelY 7947 -2.00280367 1.17919927 -114.752197 67.563141
    Unten links KachelX 5938 KachelY + 1 7948 -2.00299541 1.17912608 -114.763183 67.558948
    Unten rechts KachelX + 1 5939 KachelY + 1 7948 -2.00280367 1.17912608 -114.752197 67.558948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17919927-1.17912608) × R
    7.31899999999452e-05 × 6371000     		dl = 466.293489999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17919927-1.17912608) × R
    7.31899999999452e-05 × 6371000     		dr = 466.293489999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00299541--2.00280367) × cos(1.17919927) × R
    0.000191739999999996 × 0.381665061941582 × 6371000     		do = 466.232704140412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00299541--2.00280367) × cos(1.17912608) × R
    0.000191739999999996 × 0.381732710487368 × 6371000     		du = 466.31534194926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17919927)-sin(1.17912608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381665061941582-0.381732710487368)×R²
    abs(-2.00280367--2.00299541)×6.76485457857812e-05×R²
    0.000191739999999996×6.76485457857812e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.76485457857812e-05×40589641000000     		ar = 217420.541598649m²