Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59376 / 60210
↖ ↑ ↗
← S 81.762632°
E146.162109°		 ← 87.51 m → S 81.762632°
E146.167602°		 →
↑
87.54 m
↓
↑
87.54 m
↓
S 81.763420°
E146.162109°		 ← 87.50 m →
7 660 m²		 S 81.763420°
E146.167602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906013488769531 y=0.918739318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906013488769531 × 216)
    floor (0.906013488769531 × 65536)
    floor (59376.5)     		tx = 59376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918739318847656 × 216)
    floor (0.918739318847656 × 65536)
    floor (60210.5)     		ty = 60210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59376 / 60210 ti = "16/59376/60210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59376/60210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59376 ÷ 216
    59376 ÷ 65536     		x = 0.906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60210 ÷ 216
    60210 ÷ 65536     		y = 0.918731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906005859375 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55101005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.83746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63096879874716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55101005} λ = 2.55101005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63096879874716))-π/2
    2×atan(0.0720086665293088)-π/2
    2×0.0718845913847053-π/2
    0.143769182769411-1.57079632675     		φ = -1.42702714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55101005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42702714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.762632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59376 KachelY 60210 2.55101005 -1.42702714 146.162109 -81.762632
    Oben rechts KachelX + 1 59377 KachelY 60210 2.55110592 -1.42702714 146.167602 -81.762632
    Unten links KachelX 59376 KachelY + 1 60211 2.55101005 -1.42704088 146.162109 -81.763420
    Unten rechts KachelX + 1 59377 KachelY + 1 60211 2.55110592 -1.42704088 146.167602 -81.763420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42702714--1.42704088) × R
    1.37399999999843e-05 × 6371000     		dl = 87.5375399999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42702714--1.42704088) × R
    1.37399999999843e-05 × 6371000     		dr = 87.5375399999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55101005-2.55110592) × cos(-1.42702714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14327442363669 × 6371000     		do = 87.5102657110872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55101005-2.55110592) × cos(-1.42704088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143260825378753 × 6371000     		du = 87.5019600614459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42702714)-sin(-1.42704088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14327442363669-0.143260825378753)×R²
    abs(2.55110592-2.55101005)×1.35982579371474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.35982579371474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.35982579371474e-05×40589641000000     		ar = 7660.06985696478m²