Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59376 / 38864
↖ ↑ ↗
← N 58.881942°
W 16.918945°		 ← 157.84 m → N 58.881942°
W 16.916198°		 →
↑
157.87 m
↓
↑
157.87 m
↓
N 58.880522°
W 16.918945°		 ← 157.85 m →
24 920 m²		 N 58.880522°
W 16.916198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453006744384766 y=0.296512603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453006744384766 × 217)
    floor (0.453006744384766 × 131072)
    floor (59376.5)     		tx = 59376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296512603759766 × 217)
    floor (0.296512603759766 × 131072)
    floor (38864.5)     		ty = 38864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59376 / 38864 ti = "17/59376/38864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59376/38864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59376 ÷ 217
    59376 ÷ 131072     		x = 0.4530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38864 ÷ 217
    38864 ÷ 131072     		y = 0.2965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2965087890625 × 2 - 1) × π
    0.406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27857298666614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29529130} λ = -0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27857298666614))-π/2
    2×atan(3.59151093302181)-π/2
    2×1.29924004303217-π/2
    2.59848008606433-1.57079632675     		φ = 1.02768376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02768376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.881942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59376 KachelY 38864 -0.29529130 1.02768376 -16.918945 58.881942
    Oben rechts KachelX + 1 59377 KachelY 38864 -0.29524336 1.02768376 -16.916198 58.881942
    Unten links KachelX 59376 KachelY + 1 38865 -0.29529130 1.02765898 -16.918945 58.880522
    Unten rechts KachelX + 1 59377 KachelY + 1 38865 -0.29524336 1.02765898 -16.916198 58.880522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02768376-1.02765898) × R
    2.47799999999465e-05 × 6371000     		dl = 157.873379999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02768376-1.02765898) × R
    2.47799999999465e-05 × 6371000     		dr = 157.873379999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29529130--0.29524336) × cos(1.02768376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516803172412499 × 6371000     		do = 157.844991368332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29529130--0.29524336) × cos(1.02765898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516824386517056 × 6371000     		du = 157.851470701914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02768376)-sin(1.02765898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516803172412499-0.516824386517056)×R²
    abs(-0.29524336--0.29529130)×2.12141045565772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12141045565772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12141045565772e-05×40589641000000     		ar = 24920.0337617793m²