Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59375 / 45509
↖ ↑ ↗
← N 48.098260°
W 16.921692°		 ← 203.98 m → N 48.098260°
W 16.918945°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 48.096426°
W 16.921692°		 ← 203.99 m →
41 613 m²		 N 48.096426°
W 16.918945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452999114990234 y=0.347209930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452999114990234 × 217)
    floor (0.452999114990234 × 131072)
    floor (59375.5)     		tx = 59375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347209930419922 × 217)
    floor (0.347209930419922 × 131072)
    floor (45509.5)     		ty = 45509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59375 / 45509 ti = "17/59375/45509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59375/45509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59375 ÷ 217
    59375 ÷ 131072     		x = 0.452995300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45509 ÷ 217
    45509 ÷ 131072     		y = 0.347206115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452995300292969 × 2 - 1) × π
    -0.0940093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29533924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347206115722656 × 2 - 1) × π
    0.305587768554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.960032288690865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29533924} λ = -0.29533924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960032288690865))-π/2
    2×atan(2.61178080304462)-π/2
    2×1.20513466772147-π/2
    2.41026933544295-1.57079632675     		φ = 0.83947301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29533924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.921692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83947301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.098260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59375 KachelY 45509 -0.29533924 0.83947301 -16.921692 48.098260
    Oben rechts KachelX + 1 59376 KachelY 45509 -0.29529130 0.83947301 -16.918945 48.098260
    Unten links KachelX 59375 KachelY + 1 45510 -0.29533924 0.83944099 -16.921692 48.096426
    Unten rechts KachelX + 1 59376 KachelY + 1 45510 -0.29529130 0.83944099 -16.918945 48.096426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83947301-0.83944099) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dl = 203.99941999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83947301-0.83944099) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dr = 203.99941999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29533924--0.29529130) × cos(0.83947301) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667855152617566 × 6371000     		do = 203.980154201135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29533924--0.29529130) × cos(0.83944099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667878984481669 × 6371000     		du = 203.987433065865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83947301)-sin(0.83944099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667855152617566-0.667878984481669)×R²
    abs(-0.29529130--0.29533924)×2.38318641030411e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38318641030411e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38318641030411e-05×40589641000000     		ar = 41612.5755941682m²