Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59374 / 45510
↖ ↑ ↗
← N 48.096426°
W 16.924439°		 ← 203.99 m → N 48.096426°
W 16.921692°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 48.094592°
W 16.924439°		 ← 203.99 m →
41 601 m²		 N 48.094592°
W 16.921692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452991485595703 y=0.347217559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452991485595703 × 217)
    floor (0.452991485595703 × 131072)
    floor (59374.5)     		tx = 59374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347217559814453 × 217)
    floor (0.347217559814453 × 131072)
    floor (45510.5)     		ty = 45510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59374 / 45510 ti = "17/59374/45510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59374/45510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59374 ÷ 217
    59374 ÷ 131072     		x = 0.452987670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45510 ÷ 217
    45510 ÷ 131072     		y = 0.347213745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452987670898438 × 2 - 1) × π
    -0.094024658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29538718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347213745117188 × 2 - 1) × π
    0.305572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.959984351791245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29538718} λ = -0.29538718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959984351791245))-π/2
    2×atan(2.61165560537125)-π/2
    2×1.20511865998318-π/2
    2.41023731996636-1.57079632675     		φ = 0.83944099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29538718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.924439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83944099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.096426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59374 KachelY 45510 -0.29538718 0.83944099 -16.924439 48.096426
    Oben rechts KachelX + 1 59375 KachelY 45510 -0.29533924 0.83944099 -16.921692 48.096426
    Unten links KachelX 59374 KachelY + 1 45511 -0.29538718 0.83940898 -16.924439 48.094592
    Unten rechts KachelX + 1 59375 KachelY + 1 45511 -0.29533924 0.83940898 -16.921692 48.094592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83944099-0.83940898) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83944099-0.83940898) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29538718--0.29533924) × cos(0.83944099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667878984481669 × 6371000     		do = 203.987433065865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29538718--0.29533924) × cos(0.83940898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667902808218524 × 6371000     		du = 203.994709448323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83944099)-sin(0.83940898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667878984481669-0.667902808218524)×R²
    abs(-0.29533924--0.29538718)×2.38237368550553e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38237368550553e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38237368550553e-05×40589641000000     		ar = 41601.0639541204m²